9.9 Polynˆ ome trigonom´ etrique de Fourier
353
D’autre part, en utilisant la repr´ esentation Lagrangienne de p
∗
n , on a
∗
n − Π n f ∞ =
n
i=0
(p
∗
n (x i ) − f(x i ))l i ∞ ≤ ≤p
∗
n − f ∞
n
i=0
|l i |
∞
,
d’o` u on d´ eduit
− Π n f ∞ ≤ (1 + Λ n )E
∗
n (f),
o` u Λ n est la constante de Lebesgue associ´ ee aux noeuds {x i } d´ efinie en (7.11).
Les r´ esultats ci-dessus conduisent ` a une caract´ erisation du polynˆ ome de
meilleure approximation, mais ne fournissent pas un proc´ ed´ e constructif.
N´ eanmoins, en partant du th´ eor` eme d’´ equi-oscillation de Chebyshev, il est
possible de d´ efinir un algorithme, appel´ e algorithme de Remes, qui permet
de construire une approximation arbitrairement proche du polynˆ ome p
∗
n (voir
[Atk89], Section 4.7).
9.9 Polynˆ ome trigonom´ etrique de Fourier
Appliquons la th´ eorie d´ evelopp´ ee dans les sections pr´ ec´ edentes ` a une famille
particuli` ere de polynˆ omes orthogonaux trigonom´ etriques (et non plus alg´ ebriques comme pr´ ec´ edemment) : les polynˆ omes de Fourier. Ce sont des fonctions p´ eriodiques ` a valeurs complexes de p´ eriode 2π dont la restriction sur
]0, 2π[ est donn´ ee par
ϕ k (x) = e
ikx ,
k= 0, ±1, ±2, . . .
o` u i
2 = −1. Nous utiliserons la notation L
2 (0, 2π) pour d´ esigner les fonctions
` a valeurs complexes de carr´ e int´ egrable sur ]0, 2π[. Autrement dit
L
2 (0, 2π) =
f :]0, 2π[→ C telles que
2π
0
|f(x)|
2 dx < ∞
.
On d´ efinit sur cet espace un produit scalaire et une norme :
(f, g) =
2π
0
f(x)g(x)dx, f L 2 (0,2π) =
(f, f).
Si f ∈ L
2 (0, 2π), sa s´ erie de Fourier est
F f =
∞
k=−∞
f k ϕ k , avec
f k =
1
2π
2π
0
f(x)e
−ikx dx =
1
2π
(f, ϕ k ).
(9.51)
Si f est ` a valeurs complexes, on pose f(x) = α(x) + iβ(x) pour x ∈ [0, 2π], o` u
α(x) est la partie r´ eelle de f et β(x) sa partie imaginaire. En rappelant que
353
D’autre part, en utilisant la repr´ esentation Lagrangienne de p
∗
n , on a
∗
n − Π n f ∞ =
n
i=0
(p
∗
n (x i ) − f(x i ))l i ∞ ≤ ≤p
∗
n − f ∞
n
i=0
|l i |
∞
,
d’o` u on d´ eduit
− Π n f ∞ ≤ (1 + Λ n )E
∗
n (f),
o` u Λ n est la constante de Lebesgue associ´ ee aux noeuds {x i } d´ efinie en (7.11).
Les r´ esultats ci-dessus conduisent ` a une caract´ erisation du polynˆ ome de
meilleure approximation, mais ne fournissent pas un proc´ ed´ e constructif.
N´ eanmoins, en partant du th´ eor` eme d’´ equi-oscillation de Chebyshev, il est
possible de d´ efinir un algorithme, appel´ e algorithme de Remes, qui permet
de construire une approximation arbitrairement proche du polynˆ ome p
∗
n (voir
[Atk89], Section 4.7).
9.9 Polynˆ ome trigonom´ etrique de Fourier
Appliquons la th´ eorie d´ evelopp´ ee dans les sections pr´ ec´ edentes ` a une famille
particuli` ere de polynˆ omes orthogonaux trigonom´ etriques (et non plus alg´ ebriques comme pr´ ec´ edemment) : les polynˆ omes de Fourier. Ce sont des fonctions p´ eriodiques ` a valeurs complexes de p´ eriode 2π dont la restriction sur
]0, 2π[ est donn´ ee par
ϕ k (x) = e
ikx ,
k= 0, ±1, ±2, . . .
o` u i
2 = −1. Nous utiliserons la notation L
2 (0, 2π) pour d´ esigner les fonctions
` a valeurs complexes de carr´ e int´ egrable sur ]0, 2π[. Autrement dit
L
2 (0, 2π) =
f :]0, 2π[→ C telles que
2π
0
|f(x)|
2 dx < ∞
.
On d´ efinit sur cet espace un produit scalaire et une norme :
(f, g) =
2π
0
f(x)g(x)dx, f L 2 (0,2π) =
(f, f).
Si f ∈ L
2 (0, 2π), sa s´ erie de Fourier est
F f =
∞
k=−∞
f k ϕ k , avec
f k =
1
2π
2π
0
f(x)e
−ikx dx =
1
2π
(f, ϕ k ).
(9.51)
Si f est ` a valeurs complexes, on pose f(x) = α(x) + iβ(x) pour x ∈ [0, 2π], o` u
α(x) est la partie r´ eelle de f et β(x) sa partie imaginaire. En rappelant que