9.8 Le polynˆ ome de meilleure approximation
351
solution de (9.47) est une fonction affine, appel´ ee r´ egression lin´ eaire associ´ ee
aux donn´ ees (9.46). Le syst` eme d’´ equations normales correspondant est
1
k=0
m
j=0
w j ϕ i (x j )ϕ k (x j )a k =
m
j=0
w j ϕ i (x j )y j ,
i= 0, 1.
En posant (f, g) m =
m
j=0
f(x j )g(x j ), on obtient
(ϕ 0 , ϕ 0 ) m a 0 + (ϕ 1 , ϕ 0 ) m a 1 = (y, ϕ 0 ) m ,
(ϕ 0 , ϕ 1 ) m a 0 + (ϕ 1 , ϕ 1 ) m a 1 = (y, ϕ 1 ) m ,
o` u y(x) est une fonction qui prend la valeur y i aux noeuds x i , i = 0, . . . , m.
Apr` es un peu d’alg` ebre, on trouve la forme explicite des coefficients :
a 0 =
(y, ϕ 0 ) m (ϕ 1 , ϕ 1 ) m − (y, ϕ 1 ) m (ϕ 1 , ϕ 0 ) m
(ϕ 1 , ϕ 1 ) m (ϕ 0 , ϕ 0 ) m − (ϕ 0 , ϕ 1 ) 2
m
,
a 1 =
(y, ϕ 1 ) m (ϕ 0 , ϕ 0 ) m − (y, ϕ 0 ) m (ϕ 1 , ϕ 0 ) m
(ϕ 1 , ϕ 1 ) m (ϕ 0 , ϕ 0 ) m − (ϕ 0 , ϕ 1 ) 2
m
.
Exemple 9.3 Comme on l’a vu dans l’Exemple 7.2, des petites perturbations dans
les donn´ ees peuvent engendrer des grandes variations dans le polynˆ ome d’interpolation d’une fonction f . Ceci ne se produit pas pour le polynˆ ome aux moindres
carr´ es o` u m est beaucoup plus grand que n. Par exemple, consid´ erons la fonction
f (x) = sin(2πx) sur [−1, 1] et ´ evaluons la en 22 noeuds ´ equir´ epartis xi = 2i/21,
i = 0, . . . , 21, en posant fi = f (xi). Supposons alors qu’on ajoute `
a la donn´ ee fi
une perturbation al´ eatoire de l’ordre de 10
−3 et notons p5 et ˜
p5 les polynˆ omes aux
moindres carr´ es de degr´ e 5 approchant respectivement les donn´ ees fi et ˜
fi. La norme
du maximum de la diff´ erence p5 − ˜
p5 sur [−1, 1] est de l’ordre de 10
−3 , autrement
dit, elle est du mˆ eme ordre que la perturbation. A titre de comparaison, la mˆ eme
diff´ erence dans le cas de l’interpolation de Lagrange est environ ´ egale ` a 2 (voir Figure
9.2).
•
9.8 Le polynˆ ome de meilleure approximation
Consid´ erons la fonction f ∈ C
0 ([a, b]) → R. On dit qu’un polynˆ ome p
∗
n ∈ P n
est le polynˆ ome de meilleure approximation de f s’il satisfait
− p
∗
n ∞ = min
pn∈Pn
f − p n ∞ ∀p n ∈ P n ,
(9.50)
o` u g ∞ = max a≤x≤b |g(x)| est la norme du maximum sur [a, b]. Il s’agit
d’un probl` eme d’approximation de type minimax (puisqu’on cherche l’erreur
minimale mesur´ ee dans la norme du maximum).
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solution de (9.47) est une fonction affine, appel´ ee r´ egression lin´ eaire associ´ ee
aux donn´ ees (9.46). Le syst` eme d’´ equations normales correspondant est
1
k=0
m
j=0
w j ϕ i (x j )ϕ k (x j )a k =
m
j=0
w j ϕ i (x j )y j ,
i= 0, 1.
En posant (f, g) m =
m
j=0
f(x j )g(x j ), on obtient
(ϕ 0 , ϕ 0 ) m a 0 + (ϕ 1 , ϕ 0 ) m a 1 = (y, ϕ 0 ) m ,
(ϕ 0 , ϕ 1 ) m a 0 + (ϕ 1 , ϕ 1 ) m a 1 = (y, ϕ 1 ) m ,
o` u y(x) est une fonction qui prend la valeur y i aux noeuds x i , i = 0, . . . , m.
Apr` es un peu d’alg` ebre, on trouve la forme explicite des coefficients :
a 0 =
(y, ϕ 0 ) m (ϕ 1 , ϕ 1 ) m − (y, ϕ 1 ) m (ϕ 1 , ϕ 0 ) m
(ϕ 1 , ϕ 1 ) m (ϕ 0 , ϕ 0 ) m − (ϕ 0 , ϕ 1 ) 2
m
,
a 1 =
(y, ϕ 1 ) m (ϕ 0 , ϕ 0 ) m − (y, ϕ 0 ) m (ϕ 1 , ϕ 0 ) m
(ϕ 1 , ϕ 1 ) m (ϕ 0 , ϕ 0 ) m − (ϕ 0 , ϕ 1 ) 2
m
.
Exemple 9.3 Comme on l’a vu dans l’Exemple 7.2, des petites perturbations dans
les donn´ ees peuvent engendrer des grandes variations dans le polynˆ ome d’interpolation d’une fonction f . Ceci ne se produit pas pour le polynˆ ome aux moindres
carr´ es o` u m est beaucoup plus grand que n. Par exemple, consid´ erons la fonction
f (x) = sin(2πx) sur [−1, 1] et ´ evaluons la en 22 noeuds ´ equir´ epartis xi = 2i/21,
i = 0, . . . , 21, en posant fi = f (xi). Supposons alors qu’on ajoute `
a la donn´ ee fi
une perturbation al´ eatoire de l’ordre de 10
−3 et notons p5 et ˜
p5 les polynˆ omes aux
moindres carr´ es de degr´ e 5 approchant respectivement les donn´ ees fi et ˜
fi. La norme
du maximum de la diff´ erence p5 − ˜
p5 sur [−1, 1] est de l’ordre de 10
−3 , autrement
dit, elle est du mˆ eme ordre que la perturbation. A titre de comparaison, la mˆ eme
diff´ erence dans le cas de l’interpolation de Lagrange est environ ´ egale ` a 2 (voir Figure
9.2).
•
9.8 Le polynˆ ome de meilleure approximation
Consid´ erons la fonction f ∈ C
0 ([a, b]) → R. On dit qu’un polynˆ ome p
∗
n ∈ P n
est le polynˆ ome de meilleure approximation de f s’il satisfait
− p
∗
n ∞ = min
pn∈Pn
f − p n ∞ ∀p n ∈ P n ,
(9.50)
o` u g ∞ = max a≤x≤b |g(x)| est la norme du maximum sur [a, b]. Il s’agit
d’un probl` eme d’approximation de type minimax (puisqu’on cherche l’erreur
minimale mesur´ ee dans la norme du maximum).