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9 Polynˆ omes orthogonaux en th´ eorie de l’approximation
On cherche un polynˆ ome p n (x) =
n
i=0
a i ϕ i (x) tel que
m
j=0
w j |p n (x j ) − y j |
2
≤
m
j=0
w j |q n (x j ) − y j |
2
∀q n ∈ P n ,
(9.47)
pour des coefficients w j > 0 donn´ es ; (9.47) est appel´ e probl` eme aux moindres
carr´ es discrets, car on fait intervenir un produit scalaire discret, et que c’est
la contrepartie discr` ete du probl` eme continu vu ci-dessus. La solution p n sera
donc appel´ ee polynˆ ome aux moindres carr´ es. Noter que
|||q||| =
⎧
⎨
⎩
m
j=0
w j [q(x j )]
2
⎫
⎬
⎭
1/2
(9.48)
est une semi-norme essentiellement stricte sur P n (voir Exercice 7). Rappelons que, par d´ efinition, une norme (ou une semi-norme) discr` ete · · ∗ est
essentiellement stricte si f + g ∗ = f ∗ + g ∗ implique qu’il existe α et β
non nuls tels que αf(x i ) + βg(x i ) = 0 pour i = 0, . . . , m. Comme ||| · ||| est
une semi-norme essentiellement stricte, le probl` eme (9.47) admet une unique
solution (voir, [IK66], Section 3.5). En proc´ edant comme dans le cas continu,
on trouve les ´ equations
n
k=0
a k
m
j=0
w j ϕ k (x j )ϕ i (x j ) =
m
j=0
w j y j ϕ i (x j )
∀i = 0, . . . , n,
qui constituent un syst` eme d’´ equations normales, et qu’on ´ ecrit plus commod´ ement sous la forme
B
T Ba = B
T y,
(9.49)
o` u B est la matrice rectangulaire (m + 1) × (n + 1) de coefficients b ij = ϕ j (x i ),
i = 0, . . ., m, j = 0, . . . , n, a ∈ R
n+1 est le vecteur des coefficients inconnus et
y ∈ R
m+1 le vecteur des donn´ ees.
Remarquer que le syst` eme d’´ equations normales obtenu en (9.49) est de
la mˆ eme nature que celui introduit `
a la Section 3.12 dans le cas des syst` emes
surd´ etermin´ es. En effet, si w j = 1 pour j = 0, . . . , m, le syst` eme ci-dessus
peut ˆ etre vu comme la solution au sens des moindres carr´ es du syst` eme
m
j=0
a j ϕ j (x i ) = y i ,
i= 0, 1, . . ., m,
qui n’admet en g´ en´ eral pas de solution au sens classique, puisque le nombre
de lignes est plus grand que le nombre de colonnes. Dans le cas o` u n = 1, la
9 Polynˆ omes orthogonaux en th´ eorie de l’approximation
On cherche un polynˆ ome p n (x) =
n
i=0
a i ϕ i (x) tel que
m
j=0
w j |p n (x j ) − y j |
2
≤
m
j=0
w j |q n (x j ) − y j |
2
∀q n ∈ P n ,
(9.47)
pour des coefficients w j > 0 donn´ es ; (9.47) est appel´ e probl` eme aux moindres
carr´ es discrets, car on fait intervenir un produit scalaire discret, et que c’est
la contrepartie discr` ete du probl` eme continu vu ci-dessus. La solution p n sera
donc appel´ ee polynˆ ome aux moindres carr´ es. Noter que
|||q||| =
⎧
⎨
⎩
m
j=0
w j [q(x j )]
2
⎫
⎬
⎭
1/2
(9.48)
est une semi-norme essentiellement stricte sur P n (voir Exercice 7). Rappelons que, par d´ efinition, une norme (ou une semi-norme) discr` ete · · ∗ est
essentiellement stricte si f + g ∗ = f ∗ + g ∗ implique qu’il existe α et β
non nuls tels que αf(x i ) + βg(x i ) = 0 pour i = 0, . . . , m. Comme ||| · ||| est
une semi-norme essentiellement stricte, le probl` eme (9.47) admet une unique
solution (voir, [IK66], Section 3.5). En proc´ edant comme dans le cas continu,
on trouve les ´ equations
n
k=0
a k
m
j=0
w j ϕ k (x j )ϕ i (x j ) =
m
j=0
w j y j ϕ i (x j )
∀i = 0, . . . , n,
qui constituent un syst` eme d’´ equations normales, et qu’on ´ ecrit plus commod´ ement sous la forme
B
T Ba = B
T y,
(9.49)
o` u B est la matrice rectangulaire (m + 1) × (n + 1) de coefficients b ij = ϕ j (x i ),
i = 0, . . ., m, j = 0, . . . , n, a ∈ R
n+1 est le vecteur des coefficients inconnus et
y ∈ R
m+1 le vecteur des donn´ ees.
Remarquer que le syst` eme d’´ equations normales obtenu en (9.49) est de
la mˆ eme nature que celui introduit `
a la Section 3.12 dans le cas des syst` emes
surd´ etermin´ es. En effet, si w j = 1 pour j = 0, . . . , m, le syst` eme ci-dessus
peut ˆ etre vu comme la solution au sens des moindres carr´ es du syst` eme
m
j=0
a j ϕ j (x i ) = y i ,
i= 0, 1, . . ., m,
qui n’admet en g´ en´ eral pas de solution au sens classique, puisque le nombre
de lignes est plus grand que le nombre de colonnes. Dans le cas o` u n = 1, la