9.7 Approximation d’une fonction au sens des moindres carr´ es
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9.7 Approximation d’une fonction au sens
des moindres carr´ es
Etant donn´ e une fonction f ∈ L
2
w (a, b), on cherche un polynˆ ome r n de degr´ e
≤ n qui satisfait
f − r n w = min
pn∈Pn
f − p n w ,
o` u w(x) est une fonction poids sur ]a, b[. Quand il existe, r n est appel´ e polynˆ ome des moindres carr´ es. Ce nom vient du fait que, si w = 1, r n est le
polynˆ ome qui minimise l’erreur en moyenne quadratique E = f − r n L 2 (a,b)
(voir Exercice 8).
Comme on l’a vu ` a la Section 9.1, r n co¨ ıncide avec la troncature f n d’ordre
n de la s´ erie de Fourier (voir (9.2) et (9.3)). En fonction du choix du poids
w(x), on obtient des polynˆ omes des moindres carr´ es diff´ erents poss´ edant des
propri´ et´ es de convergence ´ egalement diff´ erentes.
Comme ` a la Section 9.1, on peut introduire la troncature discr` ete f
∗
n (9.5)
de la s´ erie de Chebyshev (en posant p k = T k ) ou de la s´ erie de Legendre (en
posant p k = L k ). Si on utilise en (9.6) le produit scalaire discret induit par la
quadrature de Gauss-Lobatto (9.31) alors les ˜
f k co¨ ıncident avec les coefficients
du d´ eveloppement du polynˆ ome d’interpolation Π
GL
n,w f (voir (9.32) dans le cas
de Chebyshev, ou (9.41) dans le cas de Legendre).
Par cons´ equent, f
∗
n = Π
GL
n,w f, autrement dit la troncature discr` ete de la
s´ erie de Chebyshev ou de Legendre de f co¨ ıncide avec le polynˆ ome d’interpolation aux n + 1 noeuds de Gauss-Lobatto. En particulier l’´ egalit´ e (9.7) est
trivialement satisfaite dans ce cas puisque f − f
∗
n n = 0.
9.7.1 Approximation au sens des moindres carr´ es discrets
De nombreuses applications n´ ecessitent de repr´ esenter de mani` ere synth´ etique,
en utilisant des fonctions ´ el´ ementaires, un grand ensemble de donn´ ees discr` etes
pouvant r´ esulter, par exemple, de mesures exp´ erimentales. Ce type d’approximation, parfois appel´ e lissage ou fitting de donn´ ees, peut ˆ etre effectu´ e de
fa¸ con satisfaisante en utilisant la m´ ethode discr` ete des moindres carr´ es qu’on
va pr´ esenter maintenant. On se donne m + 1 couples de valeurs
{(x i , y i ), i = 0, . . ., m} ,
(9.46)
o` u y i repr´ esente, par exemple, une quantit´ e physique mesur´ ee ` a la position
x i . En supposant toutes les abscisses distinctes, on se demande s’il existe un
polynˆ ome p n ∈ P n tel que p n (x i ) = y i pour tout i = 0, . . ., m. Si n = m,
on retrouve l’interpolation polynomiale analys´ ee ` a la Section 7.1. Supposons
donc que n < m et notons {ϕ i } une base de P n .
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9.7 Approximation d’une fonction au sens
des moindres carr´ es
Etant donn´ e une fonction f ∈ L
2
w (a, b), on cherche un polynˆ ome r n de degr´ e
≤ n qui satisfait
f − r n w = min
pn∈Pn
f − p n w ,
o` u w(x) est une fonction poids sur ]a, b[. Quand il existe, r n est appel´ e polynˆ ome des moindres carr´ es. Ce nom vient du fait que, si w = 1, r n est le
polynˆ ome qui minimise l’erreur en moyenne quadratique E = f − r n L 2 (a,b)
(voir Exercice 8).
Comme on l’a vu ` a la Section 9.1, r n co¨ ıncide avec la troncature f n d’ordre
n de la s´ erie de Fourier (voir (9.2) et (9.3)). En fonction du choix du poids
w(x), on obtient des polynˆ omes des moindres carr´ es diff´ erents poss´ edant des
propri´ et´ es de convergence ´ egalement diff´ erentes.
Comme ` a la Section 9.1, on peut introduire la troncature discr` ete f
∗
n (9.5)
de la s´ erie de Chebyshev (en posant p k = T k ) ou de la s´ erie de Legendre (en
posant p k = L k ). Si on utilise en (9.6) le produit scalaire discret induit par la
quadrature de Gauss-Lobatto (9.31) alors les ˜
f k co¨ ıncident avec les coefficients
du d´ eveloppement du polynˆ ome d’interpolation Π
GL
n,w f (voir (9.32) dans le cas
de Chebyshev, ou (9.41) dans le cas de Legendre).
Par cons´ equent, f
∗
n = Π
GL
n,w f, autrement dit la troncature discr` ete de la
s´ erie de Chebyshev ou de Legendre de f co¨ ıncide avec le polynˆ ome d’interpolation aux n + 1 noeuds de Gauss-Lobatto. En particulier l’´ egalit´ e (9.7) est
trivialement satisfaite dans ce cas puisque f − f
∗
n n = 0.
9.7.1 Approximation au sens des moindres carr´ es discrets
De nombreuses applications n´ ecessitent de repr´ esenter de mani` ere synth´ etique,
en utilisant des fonctions ´ el´ ementaires, un grand ensemble de donn´ ees discr` etes
pouvant r´ esulter, par exemple, de mesures exp´ erimentales. Ce type d’approximation, parfois appel´ e lissage ou fitting de donn´ ees, peut ˆ etre effectu´ e de
fa¸ con satisfaisante en utilisant la m´ ethode discr` ete des moindres carr´ es qu’on
va pr´ esenter maintenant. On se donne m + 1 couples de valeurs
{(x i , y i ), i = 0, . . ., m} ,
(9.46)
o` u y i repr´ esente, par exemple, une quantit´ e physique mesur´ ee ` a la position
x i . En supposant toutes les abscisses distinctes, on se demande s’il existe un
polynˆ ome p n ∈ P n tel que p n (x i ) = y i pour tout i = 0, . . ., m. Si n = m,
on retrouve l’interpolation polynomiale analys´ ee ` a la Section 7.1. Supposons
donc que n < m et notons {ϕ i } une base de P n .