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9 Polynˆ omes orthogonaux en th´ eorie de l’approximation
9.5 Int´ egration de Gauss sur des intervalles non born´ es
Nous consid´ erons maintenant l’int´ egration sur le demi-axe r´ eel et sur l’axe
r´ eel tout entier. Nous utilisons les formules d’interpolation de Gauss dont
les noeuds sont donn´ es dans le premier cas par les z´ eros des polynˆ omes de
Laguerre et dans le second cas par ceux des polynˆ omes d’Hermite.
Les polynˆ omes de Laguerre. Ce sont des polynˆ omes orthogonaux relativement au poids w(x) = e
−x d´ efinis sur l’intervalle [0, +∞[. Il sont donn´ es
par
L n (x) = e
x d
n
dx n (e
−x x
n ),
n≥ 0.
Dans le cas des polynˆ omes de Laguerre, la relation de r´ ecurrence ` a trois termes
(9.8) s’´ ecrit
L n+1 (x) = (2n + 1 − x)L n (x) − n
2
L n−1 (x), n ≥ 0,
L −1 = 0,
L 0 = 1.
Pour toute fonction f, on d´ efinit ϕ(x) = f(x)e
x . Alors, I(f) =
∞
0
f(x)dx =
∞
0
e
−x ϕ(x)dx, de sorte qu’il suffit d’appliquer `
a cette derni` ere int´ egrale les
quadratures de Gauss-Laguerre pour obtenir, pour n ≥ 1 et f ∈ C
2n ([0, +∞[)
I(f) =
n
k=1
α k ϕ(x k ) +
(n!)
2
(2n)!
ϕ
(2n) (ξ),
0 < ξ < +∞,
(9.44)
o` u les noeuds x k , pour k = 1, . . . , n, sont les z´ eros de L n et les poids sont
α k = (n!)
2 x k /[L n+1 (x k )]
2 . On d´ eduit de (9.44) que les formules de GaussLaguerre sont exactes pour les fonctions f du type ϕe
−x , o` u ϕ ∈ P 2n−1 . On
peut dire qu’elles ont un degr´ e d’exactitude (dans un sens g´ en´ eralis´ e) optimal
et ´ egal ` a 2n − 1.
Exemple 9.2 En utilisant une formule de quadrature de Gauss-Laguerre avec n =
12 pour calculer l’int´ egrale de l’Exemple 8.11, on obtient la valeur 0.5997, ce qui
donne une erreur absolue de 2.96·10
−4 . A titre de comparaison, la formule composite
du trap` eze n´ ecessiterait 277 noeuds pour atteindre la mˆ eme pr´ ecision.
•
Les polynˆ omes d’Hermite. Ce sont des polynˆ omes orthogonaux relativement au poids w(x) = e
−x
2 d´ efinis sur l’axe r´ eel tout entier. Ils sont donn´ es
par
H n (x) = (−1)
n e
x
2 d
n
dx n (e
−x
2
),
n≥ 0.
Les polynˆ omes d’Hermite peuvent ˆ etre construits par r´ ecurrence avec la formule
H n+1 (x) = 2xH n (x) − 2nH n−1 (x), n ≥ 0,
H −1 = 0,
H 0 = 1.
9 Polynˆ omes orthogonaux en th´ eorie de l’approximation
9.5 Int´ egration de Gauss sur des intervalles non born´ es
Nous consid´ erons maintenant l’int´ egration sur le demi-axe r´ eel et sur l’axe
r´ eel tout entier. Nous utilisons les formules d’interpolation de Gauss dont
les noeuds sont donn´ es dans le premier cas par les z´ eros des polynˆ omes de
Laguerre et dans le second cas par ceux des polynˆ omes d’Hermite.
Les polynˆ omes de Laguerre. Ce sont des polynˆ omes orthogonaux relativement au poids w(x) = e
−x d´ efinis sur l’intervalle [0, +∞[. Il sont donn´ es
par
L n (x) = e
x d
n
dx n (e
−x x
n ),
n≥ 0.
Dans le cas des polynˆ omes de Laguerre, la relation de r´ ecurrence ` a trois termes
(9.8) s’´ ecrit
L n+1 (x) = (2n + 1 − x)L n (x) − n
2
L n−1 (x), n ≥ 0,
L −1 = 0,
L 0 = 1.
Pour toute fonction f, on d´ efinit ϕ(x) = f(x)e
x . Alors, I(f) =
∞
0
f(x)dx =
∞
0
e
−x ϕ(x)dx, de sorte qu’il suffit d’appliquer `
a cette derni` ere int´ egrale les
quadratures de Gauss-Laguerre pour obtenir, pour n ≥ 1 et f ∈ C
2n ([0, +∞[)
I(f) =
n
k=1
α k ϕ(x k ) +
(n!)
2
(2n)!
ϕ
(2n) (ξ),
0 < ξ < +∞,
(9.44)
o` u les noeuds x k , pour k = 1, . . . , n, sont les z´ eros de L n et les poids sont
α k = (n!)
2 x k /[L n+1 (x k )]
2 . On d´ eduit de (9.44) que les formules de GaussLaguerre sont exactes pour les fonctions f du type ϕe
−x , o` u ϕ ∈ P 2n−1 . On
peut dire qu’elles ont un degr´ e d’exactitude (dans un sens g´ en´ eralis´ e) optimal
et ´ egal ` a 2n − 1.
Exemple 9.2 En utilisant une formule de quadrature de Gauss-Laguerre avec n =
12 pour calculer l’int´ egrale de l’Exemple 8.11, on obtient la valeur 0.5997, ce qui
donne une erreur absolue de 2.96·10
−4 . A titre de comparaison, la formule composite
du trap` eze n´ ecessiterait 277 noeuds pour atteindre la mˆ eme pr´ ecision.
•
Les polynˆ omes d’Hermite. Ce sont des polynˆ omes orthogonaux relativement au poids w(x) = e
−x
2 d´ efinis sur l’axe r´ eel tout entier. Ils sont donn´ es
par
H n (x) = (−1)
n e
x
2 d
n
dx n (e
−x
2
),
n≥ 0.
Les polynˆ omes d’Hermite peuvent ˆ etre construits par r´ ecurrence avec la formule
H n+1 (x) = 2xH n (x) − 2nH n−1 (x), n ≥ 0,
H −1 = 0,
H 0 = 1.