9.4 Interpolation et int´ egration de Legendre
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Exemple 9.1 On veut ´ evaluer l’int´ egrale de f (x) = |x|
α+ 3
5 sur [−1, 1] pour α =
0, 1, 2. Remarquer que f admet des d´ eriv´ ees “par morceaux” jusqu’` a l’ordre s =
s(α) = α + 1 dans L
2 (−1, 1). La Figure 9.1 montre le comportement de l’erreur en
fonction de n pour la formule de quadrature de Gauss-Legendre. Conform´ ement `
a
(9.40), le taux de convergence augmente de 1 quand α augmente de 1.
•
10
0
10
1
10
2
10
3
10
−10
10
−8
10
−6
10
−4
10
−2
10
0
10
2
Fig. 9.1. Erreur de quadrature en ´ echelle logarithmique en fonction de n dans le
cas d’une fonction ayant ses s premi` eres d´ eriv´ ees dans L
2 (−1, 1) pour s = 1 (trait
plein), s = 2 (trait discontinu), s = 3 (pointill´ es)
Le polynˆ ome d’interpolation aux noeuds (9.36) est donn´ e par
Π
GL
n f(x) =
n
k=0
˜
f k L k (x).
(9.41)
Remarquer que, dans ce cas aussi, Π
GL
n f co¨ ıncide avec la troncature discr` ete
de la s´ erie de Legendre f
∗
n d´ efinie en (9.5). En proc´ edant comme ` a la section
pr´ ec´ edente, on obtient
f(x j ) =
n
k=0
˜
f k L k (x j ),
j = 0, . . ., n,
(9.42)
et
˜
f k =
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
2k + 1
n(n + 1)
n
j=0
L k (x j )
1
L 2
n (x j )
f(x j ), k = 0, . . . , n − 1,
1
n + 1
n
j=0
1
L n (x j )
f(x j ),
k= n,
(9.43)
(voir Exercice 6). Les Formules (9.43) et (9.42) fournissent respectivement la
transform´ ee de Legendre discr` ete ou DLT (pour discrete Legendre transform)
et son inverse.