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9 Polynˆ omes orthogonaux en th´ eorie de l’approximation
9.4 Interpolation et int´ egration de Legendre
On a vu plus haut que le poids de Legendre est d´ efini par w(x) = 1. Pour
n ≥ 0, les noeuds et les coefficients de Gauss correspondants sont donn´ es par
x j z´ eros de L n+1 (x), α j =
2
(1 − x
2
j )[L
n+1 (x j )] 2 , j = 0, . . . , n,
(9.35)
tandis que ceux de Gauss-Lobatto sont, pour n ≥ 1
x 0 = −1, x n = 1, x j z´ eros de L
n (x), j = 1, . . . , n − 1,
(9.36)
α j =
2
n(n + 1)
1
[L n (x j )] 2 ,
j = 0, . . ., n,
(9.37)
o` u L n est le n-i` eme polynˆ ome de Legendre d´ efini en (9.14). On peut v´ erifier
que, pour une certaine constante C ind´ ependante de n,
2
n(n + 1)
≤ α j ≤
C
n
∀j = 0, . . ., n
(voir [BM92], p. 76). Alors, si Π
GL
n f est le polynˆ ome de degr´ e n interpolant f
aux n + 1 noeuds x j donn´ es par (9.36), on peut montrer que Π
GL
n f v´ erifie les
mˆ emes estimations d’erreur que celles vues pour les polynˆ omes de Chebyshev
correspondants (i.e. (9.25) et (9.27)).
La norme · · w correspond simplement ` a la norme · · L 2 (−1,1) , et f s,w
devient
s =
s
k=0
f
(k)
2
L 2 (−1,1)
1
2
.
(9.38)
On a le mˆ eme type de r´ esultat si Π
GL
n f est remplac´ e par le polynˆ ome Π
G
n f de
degr´ e n qui interpole f aux n + 1 noeuds x j donn´ es par (9.35).
En reprenant la d´ efinition du produit scalaire discret (9.31), mais avec les
noeuds (9.36) et les coefficients (9.37), on voit que (·, ·) n est une approximation
du produit scalaire usuel (·, ·) de L
2 (−1, 1). En effet, l’analogue de (9.30) s’´ ecrit
|(f, v n ) − (f, v n ) n | ≤ Cn
−s
f s v n L 2 (−1,1)
∀v n ∈ P n .
(9.39)
Cette relation est valable pour tout s ≥ 1 tel que f s < ∞. En particulier,
en posant v n = 1, on a v n =
√
2, et on d´ eduit de (9.39) que
1
−1
f(x)dx − I
GL
n (f)
≤ Cn
−s
f s ,
(9.40)
ce qui prouve la convergence de la formule de quadrature de Gauss-LegendreLobatto vers l’int´ egrale exacte de f avec un ordre s par rapport `
a n
−1 (` a
condition que f s < ∞). Il existe un r´ esultat similaire pour les formules de
quadrature de Gauss-Legendre ` a n + 1 noeuds.
9 Polynˆ omes orthogonaux en th´ eorie de l’approximation
9.4 Interpolation et int´ egration de Legendre
On a vu plus haut que le poids de Legendre est d´ efini par w(x) = 1. Pour
n ≥ 0, les noeuds et les coefficients de Gauss correspondants sont donn´ es par
x j z´ eros de L n+1 (x), α j =
2
(1 − x
2
j )[L
n+1 (x j )] 2 , j = 0, . . . , n,
(9.35)
tandis que ceux de Gauss-Lobatto sont, pour n ≥ 1
x 0 = −1, x n = 1, x j z´ eros de L
n (x), j = 1, . . . , n − 1,
(9.36)
α j =
2
n(n + 1)
1
[L n (x j )] 2 ,
j = 0, . . ., n,
(9.37)
o` u L n est le n-i` eme polynˆ ome de Legendre d´ efini en (9.14). On peut v´ erifier
que, pour une certaine constante C ind´ ependante de n,
2
n(n + 1)
≤ α j ≤
C
n
∀j = 0, . . ., n
(voir [BM92], p. 76). Alors, si Π
GL
n f est le polynˆ ome de degr´ e n interpolant f
aux n + 1 noeuds x j donn´ es par (9.36), on peut montrer que Π
GL
n f v´ erifie les
mˆ emes estimations d’erreur que celles vues pour les polynˆ omes de Chebyshev
correspondants (i.e. (9.25) et (9.27)).
La norme · · w correspond simplement ` a la norme · · L 2 (−1,1) , et f s,w
devient
s =
s
k=0
f
(k)
2
L 2 (−1,1)
1
2
.
(9.38)
On a le mˆ eme type de r´ esultat si Π
GL
n f est remplac´ e par le polynˆ ome Π
G
n f de
degr´ e n qui interpole f aux n + 1 noeuds x j donn´ es par (9.35).
En reprenant la d´ efinition du produit scalaire discret (9.31), mais avec les
noeuds (9.36) et les coefficients (9.37), on voit que (·, ·) n est une approximation
du produit scalaire usuel (·, ·) de L
2 (−1, 1). En effet, l’analogue de (9.30) s’´ ecrit
|(f, v n ) − (f, v n ) n | ≤ Cn
−s
f s v n L 2 (−1,1)
∀v n ∈ P n .
(9.39)
Cette relation est valable pour tout s ≥ 1 tel que f s < ∞. En particulier,
en posant v n = 1, on a v n =
√
2, et on d´ eduit de (9.39) que
1
−1
f(x)dx − I
GL
n (f)
≤ Cn
−s
f s ,
(9.40)
ce qui prouve la convergence de la formule de quadrature de Gauss-LegendreLobatto vers l’int´ egrale exacte de f avec un ordre s par rapport `
a n
−1 (` a
condition que f s < ∞). Il existe un r´ esultat similaire pour les formules de
quadrature de Gauss-Legendre ` a n + 1 noeuds.