9.3 Interpolation et int´ egration de Chebyshev
343
Ceci d´ ecoule du r´ esultat plus g´ en´ eral suivant :
|(f, v n ) w − (f, v n ) n | ≤ Cn
−s
f s,w v n w
∀v n ∈ P n ,
(9.30)
o` u on a introduit le produit scalaire discret
(f, g) n =
n
j=0
α j f(x j )g(x j ) = I
GL
n,w (fg).
(9.31)
On peut en effet d´ eduire (9.29) de (9.30) en posant v n = 1 et en remarquant
que v n w =
1
−1
(1 − x
2 )
−1/2 dx
1/2
=
√ π. L’in´ egalit´ e (9.29) permet de
conclure que la formule de (Chebyshev) Gauss-Lobatto a un degr´ e d’exactitude
2n−1 et une pr´ ecision d’ordre s (par rapport `
a n
−1 ) d` es lors que f s,w < ∞,
la pr´ ecision n’´ etant limit´ ee que par la r´ egularit´ e s de la fonction `
a int´ egrer. Des
consid´ erations similaires peuvent ˆ etre faites pour les formules de (Chebyshev)
Gauss ` a n + 1 noeuds.
D´ eterminons enfin les coefficients ˜
f k , k = 0, . . ., n du d´ eveloppement sur la
base des polynˆ omes de Chebyshev (9.11) du polynˆ ome d’interpolation Π
GL
n,w f
aux n + 1 noeuds de Gauss-Lobatto
Π
GL
n,w f(x) =
n
k=0
˜
f k T k (x).
(9.32)
Noter que Π
GL
n,w f co¨ ıncide avec la troncature discr` ete f
∗
n de la s´ erie de Chebyshev d´ efinie en (9.5). En imposant l’´ egalit´ e Π
GL
n,w f(x j ) = f(x j ), j = 0, . . ., n,
on trouve
f(x j ) =
n
k=0
cos
kjπ
n
˜
f k ,
j = 0, . . ., n.
(9.33)
Etant donn´ e le degr´ e d’exactitude des quadratures de Gauss-Lobatto, on peut
v´ erifier (voir Exercice 2) que
˜
f k =
2
nd k
n
j=0
1
d j
cos
kjπ
n
f(x j )
k = 0, . . . , n,
(9.34)
o` u d j = 2 si j = 0, n et d j = 1 si j = 1, . . . , n − 1. La relation (9.34)
donne les coefficients discrets { ˜
f k , k = 0, . . . , n} en fonction des valeurs nodales {f(x j ), j = 0, . . . , n}. Pour cette raison, on l’appelle transform´ ee de
Chebyshev discr` ete (ou CDT pour Chebyshev discrete transform) . Grˆ ace ` a sa
structure trigonom´ etrique, on peut la calculer efficacement en utilisant l’algorithme de transformation de Fourier rapide (ou FFT pour fast Fourier transform) avec un nombre d’op´ erations de l’ordre de n log 2 n (voir Section 9.9.1).
Naturellement, (9.33) est l’inverse de la CDT, et elle peut aussi ˆ etre calcul´ ee
avec la FFT.
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Ceci d´ ecoule du r´ esultat plus g´ en´ eral suivant :
|(f, v n ) w − (f, v n ) n | ≤ Cn
−s
f s,w v n w
∀v n ∈ P n ,
(9.30)
o` u on a introduit le produit scalaire discret
(f, g) n =
n
j=0
α j f(x j )g(x j ) = I
GL
n,w (fg).
(9.31)
On peut en effet d´ eduire (9.29) de (9.30) en posant v n = 1 et en remarquant
que v n w =
1
−1
(1 − x
2 )
−1/2 dx
1/2
=
√ π. L’in´ egalit´ e (9.29) permet de
conclure que la formule de (Chebyshev) Gauss-Lobatto a un degr´ e d’exactitude
2n−1 et une pr´ ecision d’ordre s (par rapport `
a n
−1 ) d` es lors que f s,w < ∞,
la pr´ ecision n’´ etant limit´ ee que par la r´ egularit´ e s de la fonction `
a int´ egrer. Des
consid´ erations similaires peuvent ˆ etre faites pour les formules de (Chebyshev)
Gauss ` a n + 1 noeuds.
D´ eterminons enfin les coefficients ˜
f k , k = 0, . . ., n du d´ eveloppement sur la
base des polynˆ omes de Chebyshev (9.11) du polynˆ ome d’interpolation Π
GL
n,w f
aux n + 1 noeuds de Gauss-Lobatto
Π
GL
n,w f(x) =
n
k=0
˜
f k T k (x).
(9.32)
Noter que Π
GL
n,w f co¨ ıncide avec la troncature discr` ete f
∗
n de la s´ erie de Chebyshev d´ efinie en (9.5). En imposant l’´ egalit´ e Π
GL
n,w f(x j ) = f(x j ), j = 0, . . ., n,
on trouve
f(x j ) =
n
k=0
cos
kjπ
n
˜
f k ,
j = 0, . . ., n.
(9.33)
Etant donn´ e le degr´ e d’exactitude des quadratures de Gauss-Lobatto, on peut
v´ erifier (voir Exercice 2) que
˜
f k =
2
nd k
n
j=0
1
d j
cos
kjπ
n
f(x j )
k = 0, . . . , n,
(9.34)
o` u d j = 2 si j = 0, n et d j = 1 si j = 1, . . . , n − 1. La relation (9.34)
donne les coefficients discrets { ˜
f k , k = 0, . . . , n} en fonction des valeurs nodales {f(x j ), j = 0, . . . , n}. Pour cette raison, on l’appelle transform´ ee de
Chebyshev discr` ete (ou CDT pour Chebyshev discrete transform) . Grˆ ace ` a sa
structure trigonom´ etrique, on peut la calculer efficacement en utilisant l’algorithme de transformation de Fourier rapide (ou FFT pour fast Fourier transform) avec un nombre d’op´ erations de l’ordre de n log 2 n (voir Section 9.9.1).
Naturellement, (9.33) est l’inverse de la CDT, et elle peut aussi ˆ etre calcul´ ee
avec la FFT.