342
9 Polynˆ omes orthogonaux en th´ eorie de l’approximation
o` u d 0 = d n = 2 et d j = 1 pour j = 1, . . . , n − 1. Remarquer que les noeuds de
Gauss (9.23) sont, ` a n ≥ 0 fix´ e, les z´ eros du polynˆ ome de Chebyshev T n+1 ∈
P n+1 , tandis que, pour n ≥ 1, les noeuds int´ erieurs {¯ x j , j = 1, . . . , n − 1} sont
les z´ eros de T
n , comme on l’avait annonc´ e ` a la Remarque 9.2.
En notant Π
GL
n,w f le polynˆ ome de degr´ e n + 1 qui interpole f aux noeuds
(9.24) et en supposant que les d´ eriv´ ees f
(k) d’ordre k = 0, . . . , s de la fonction
f sont dans L
2
w (avec s ≥ 1), on peut montrer que l’erreur d’interpolation est
major´ ee ainsi :
− Π
GL
n,w f w ≤ Cn
−s
f s,w
pour s ≥ 1,
(9.25)
o` u C d´ esigne une constante ind´ ependante de n (dans la suite, on notera encore
C des constantes n’ayant pas n´ ecessairement la mˆ eme valeur) et o` u · · w est
la norme L
2
w d´ efinie en (9.10) et
s,w =
s
k=0
f
(k)
2
w
1
2
.
(9.26)
En particulier, pour toute fonction continue f, on peut ´ etablir l’estimation
d’erreur ponctuelle suivante (voir Exercice 3) :
− Π
GL
n,w f ∞ ≤ Cn
1/2−s
f s,w .
(9.27)
Ainsi, Π
GL
n,w f converge ponctuellement vers f quand n → ∞, pour tout f ∈
C
1 ([−1, 1]). On a le mˆ eme type de r´ esultat que (9.25) et (9.27) si on remplace
Π
GL
n,w f par le polynˆ ome Π
G
n f de degr´ e n qui interpole f aux n noeuds de Gauss
x j donn´ es en (9.23). Pour la preuve de ces r´ esultats voir p. ex. [CHQZ06], p.
296, ou [QV94], p. 112.
On a aussi l’in´ egalit´ e suivante (voir [Riv74], p.13) :
− Π
G
n f ∞ ≤ (1 + Λ n )E
∗
n (f) avec Λ n ≤
2
π
log(n + 1) + 1,
(9.28)
o` u E
∗
n (f) = inf
p∈Pn
f − p ∞ est la meilleure erreur d’approximation de f
dans P n . Pour ce qui est de l’erreur d’int´ egration num´ erique, consid´ erons par
exemple la formule de quadrature de Gauss-Lobatto (9.21) dont les noeuds et
les poids sont donn´ es en (9.24). Remarquons tout d’abord que
1
−1
f(x)(1 − x
2 )
−1/2 dx = lim
n→∞
I
GL
n,w (f)
pour toute fonction f telle que l’int´ egrale du membre de gauche est finie (voir
[Sze67], p. 342). Pour des fonctions (plus r´ eguli` eres) telles que f s,w est finie
pour un certain s ≥ 1, on a
1
−1
f(x)(1 − x
2 )
−1/2 dx − I
GL
n,w (f)
≤ Cn
−s
f s,w .
(9.29)
9 Polynˆ omes orthogonaux en th´ eorie de l’approximation
o` u d 0 = d n = 2 et d j = 1 pour j = 1, . . . , n − 1. Remarquer que les noeuds de
Gauss (9.23) sont, ` a n ≥ 0 fix´ e, les z´ eros du polynˆ ome de Chebyshev T n+1 ∈
P n+1 , tandis que, pour n ≥ 1, les noeuds int´ erieurs {¯ x j , j = 1, . . . , n − 1} sont
les z´ eros de T
n , comme on l’avait annonc´ e ` a la Remarque 9.2.
En notant Π
GL
n,w f le polynˆ ome de degr´ e n + 1 qui interpole f aux noeuds
(9.24) et en supposant que les d´ eriv´ ees f
(k) d’ordre k = 0, . . . , s de la fonction
f sont dans L
2
w (avec s ≥ 1), on peut montrer que l’erreur d’interpolation est
major´ ee ainsi :
− Π
GL
n,w f w ≤ Cn
−s
f s,w
pour s ≥ 1,
(9.25)
o` u C d´ esigne une constante ind´ ependante de n (dans la suite, on notera encore
C des constantes n’ayant pas n´ ecessairement la mˆ eme valeur) et o` u · · w est
la norme L
2
w d´ efinie en (9.10) et
s,w =
s
k=0
f
(k)
2
w
1
2
.
(9.26)
En particulier, pour toute fonction continue f, on peut ´ etablir l’estimation
d’erreur ponctuelle suivante (voir Exercice 3) :
− Π
GL
n,w f ∞ ≤ Cn
1/2−s
f s,w .
(9.27)
Ainsi, Π
GL
n,w f converge ponctuellement vers f quand n → ∞, pour tout f ∈
C
1 ([−1, 1]). On a le mˆ eme type de r´ esultat que (9.25) et (9.27) si on remplace
Π
GL
n,w f par le polynˆ ome Π
G
n f de degr´ e n qui interpole f aux n noeuds de Gauss
x j donn´ es en (9.23). Pour la preuve de ces r´ esultats voir p. ex. [CHQZ06], p.
296, ou [QV94], p. 112.
On a aussi l’in´ egalit´ e suivante (voir [Riv74], p.13) :
− Π
G
n f ∞ ≤ (1 + Λ n )E
∗
n (f) avec Λ n ≤
2
π
log(n + 1) + 1,
(9.28)
o` u E
∗
n (f) = inf
p∈Pn
f − p ∞ est la meilleure erreur d’approximation de f
dans P n . Pour ce qui est de l’erreur d’int´ egration num´ erique, consid´ erons par
exemple la formule de quadrature de Gauss-Lobatto (9.21) dont les noeuds et
les poids sont donn´ es en (9.24). Remarquons tout d’abord que
1
−1
f(x)(1 − x
2 )
−1/2 dx = lim
n→∞
I
GL
n,w (f)
pour toute fonction f telle que l’int´ egrale du membre de gauche est finie (voir
[Sze67], p. 342). Pour des fonctions (plus r´ eguli` eres) telles que f s,w est finie
pour un certain s ≥ 1, on a
1
−1
f(x)(1 − x
2 )
−1/2 dx − I
GL
n,w (f)
≤ Cn
−s
f s,w .
(9.29)