9.3 Interpolation et int´ egration de Chebyshev
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Si la fonction `
a int´ egrer n’est pas seulement continue mais aussi diff´ erentiable
jusqu’` a un ordre p ≥ 1, nous verrons que l’int´ egration de Gauss converge avec
un ordre par rapport `
a 1/n d’autant plus grand que p est grand. Dans les
prochaines sections, les r´ esultats pr´ ec´ edents seront appliqu´ es aux polynˆ omes
de Chebyshev et de Legendre.
Remarque 9.3 (int´ egration sur un intervalle arbitraire) Une formule
de quadrature de noeuds ξ j et de coefficients β j , j = 0, . . . , n sur l’intervalle [−1, 1] peut ˆ etre transport´ ee sur n’importe quel intervalle [a, b]. En effet,
si ϕ : [−1, 1] → [a, b] est l’application affine d´ efinie par x = ϕ(ξ) =
b−a
2 ξ +
a+b
2 ,
on a
b
a
f(x)dx =
b − a
2
1
−1
(f ◦ ϕ)(ξ)dξ.
On peut donc employer sur l’intervalle [a, b] la formule de quadrature avec les
noeuds x j = ϕ(ξ j ) et les poids α j =
b−a
2
β j . Noter que cette formule conserve
sur [a, b] le mˆ eme degr´ e d’exactitude que la formule initiale sur [−1, 1]. En
effet, si
1
−1
p(ξ)dξ =
n
j=0
p(ξ j )β j
pour tout polynˆ ome p de degr´ e r sur [−1, 1], alors pour tout polynˆ ome q de
mˆ eme degr´ e sur [a, b] on a
n
j=0
q(x j )α j =
b − a
2
n
j=0
(q ◦ ϕ)(ξ j )β j =
b − a
2
1
−1
(q ◦ ϕ)(ξ)dξ =
b
a
q(x)dx,
car (q ◦ ϕ)(ξ) est un polynˆ ome de degr´ e r sur [−1, 1].
9.3 Interpolation et int´ egration de Chebyshev
Si on consid` ere les quadratures de Gauss relatives au poids de Chebyshev
w(x) = (1 − x
2 )
−1/2 , les noeuds et les coefficients de Gauss sont donn´ es par
x j = − cos
(2j + 1)π
2(n + 1)
, α j =
π
n + 1
, 0 ≤ j ≤ n,
(9.23)
tandis que les noeuds et les poids de Gauss-Lobatto sont
x j = − cos
πj
n
, α j =
π
d j n
, 0 ≤ j ≤ n,
(9.24)