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9 Polynˆ omes orthogonaux en th´ eorie de l’approximation
est appel´ ee formule de Gauss-Lobatto ` a n + 1 noeuds.
V´ erifions qu’elle a un degr´ e d’exactitude ´ egal ` a 2n−1. Pour tout f ∈ P 2n−1 ,
il existe π n−2 ∈ P n−2 et q n ∈ P n tels que f = ω n+1 π n−2 + q n . La formule
de quadrature (9.21) a un degr´ e d’exactitude au moins ´ egal ` a n (en tant que
formule interpolatoire `
a n + 1 noeuds distincts), on a donc
n
j=0
α j q n (x j ) =
1
−1
q n (x)w(x)dx
=
1
−1
f(x)w(x)dx −
1
−1
ω n+1 (x)π n−2 (x)w(x)dx.
On d´ eduit de (9.19) que ¯
ω n+1 est orthogonal `
a tous les polynˆ omes de degr´ e
≤ n − 2, la derni` ere int´ egrale est donc nulle. De plus, puisque f(x j ) = q n (x j )
pour j = 0, . . . , n, on conclut que
1
−1
f(x)w(x)dx =
n
i=0
α i f(x i )
∀f ∈ P 2n−1 .
En notant Π
GL
n,w f le polynˆ ome de degr´ e n interpolant f aux noeuds {x j , j =
0, . . . , n}, on a
Π
GL
n,w f(x) =
n
i=0
f(x i )l i (x)
(9.22)
et donc I
GL
n,w (f) =
1
−1
Π
GL
n,w f(x)w(x)dx.
Remarque 9.2 Dans le cas particulier o` u la quadrature de Gauss-Lobatto
est relative ` a un poids de Jacobi w(x) = (1 − x)
α (1 − x)
β , avec α, β > −1, les
noeuds int´ erieurs x 1 , . . . , x n−1 sont les racines du polynˆ ome (J
(α,β)
n
)
, c’est` a-dire les points o` u le n-i` eme polynˆ ome de Jacobi J
(α,β)
n
atteint ses extr´ ema
(voir [CHQZ06], p. 71-72).
On peut montrer le r´ esultat de convergence suivant pour l’int´ egration de Gauss
(voir [Atk89], Chapitre 5) :
lim
n→+∞
1
−1
f(x)w(x)dx −
n
j=0
α j f(x j )
= 0
∀f ∈ C
0 ([−1, 1]).
Un r´ esultat similaire existe aussi pour l’int´ egration de Gauss-Lobatto :
lim
n→+∞
1
−1
f(x)w(x)dx −
n
j=0
α j f(x j )
= 0
∀f ∈ C
0 ([−1, 1]).