9.2 Interpolation et int´ egration de Gauss
339
D´ emonstration. Si ce n’´ etait pas vrai, on pourrait prendre m ≥ n + 2 dans
le th´ eor` eme pr´ ec´ edent. Ceci permettrait de choisir p = ωn+1 dans (9.17), d’o` u on
d´ eduirait que ωn+1 est identiquement nul, ce qui est absurde.
3
En prenant m = n + 1 (la plus grande valeur admissible), on d´ eduit de (9.17)
que le polynˆ ome nodal ω n+1 satisfait la relation
1
−1
ω n+1 (x)p(x)w(x)dx = 0
∀p ∈ P n .
Comme ω n+1 est un polynˆ ome de degr´ e n + 1 orthogonal `
a tous les polynˆ omes
de degr´ e plus bas, ω n+1 est ´ egal ` a p n+1 ` a un coefficient multiplicatif pr` es
(on rappelle que {p k } est la base des polynˆ omes orthogonaux introduite `
a la
Section 9.1). En particulier, ses racines {x j } co¨ ıncident avec celles de p n+1 :
p n+1 (x j ) = 0,
j = 0, . . ., n.
(9.18)
Les points {x j } sont les noeuds de Gauss associ´ es au poids w(x). On peut `
a
pr´ esent conclure que la formule de quadrature (9.15), dont les coefficients et
les noeuds sont donn´ es respectivement par (9.16) et (9.18), a un degr´ e d’exactitude ´ egal ` a 2n + 1, c’est-` a-dire le degr´ e maximal pouvant ˆ etre atteint avec
une formule interpolatoire `
a n + 1 noeuds. On l’appelle formule de quadrature
de Gauss.
Ses poids sont tous positifs et ses noeuds sont dans l’intervalle ouvert ] −
1, 1[ (voir p. ex. [CHQZ06], p. 70). N´ eanmoins, il peut ˆ etre utile de prendre
aussi les extr´ emit´ es de l’intervalle comme noeuds de quadrature. La formule
de Gauss ainsi obtenue poss´ edant le plus grand degr´ e d’exactitude est celle
ayant pour noeuds les n + 1 racines du polynˆ ome
ω n+1 (x) = p n+1 (x) + ap n (x) + bp n−1 (x),
(9.19)
o` u les constantes a et b sont telles que ω n+1 (−1) = ω n+1 (1) = 0.
En notant ces racines x 0 = −1, x 1 , . . ., x n = 1, les coefficients {α i , i =
0, . . . , n} peuvent ˆ etre obtenus avec les formules usuelles (9.16) :
α i =
1
−1
l i (x)w(x)dx,
i = 0, . . . , n,
(9.20)
o` u l i ∈ P n est le i-i` eme polynˆ ome caract´ eristique de Lagrange, c’est-` a-dire tel
que l i (x j ) = δ ij pour i, j = 0, . . . , n. La formule de quadrature
I
GL
n,w (f) =
n
i=0
α i f(x i )
(9.21)
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D´ emonstration. Si ce n’´ etait pas vrai, on pourrait prendre m ≥ n + 2 dans
le th´ eor` eme pr´ ec´ edent. Ceci permettrait de choisir p = ωn+1 dans (9.17), d’o` u on
d´ eduirait que ωn+1 est identiquement nul, ce qui est absurde.
3
En prenant m = n + 1 (la plus grande valeur admissible), on d´ eduit de (9.17)
que le polynˆ ome nodal ω n+1 satisfait la relation
1
−1
ω n+1 (x)p(x)w(x)dx = 0
∀p ∈ P n .
Comme ω n+1 est un polynˆ ome de degr´ e n + 1 orthogonal `
a tous les polynˆ omes
de degr´ e plus bas, ω n+1 est ´ egal ` a p n+1 ` a un coefficient multiplicatif pr` es
(on rappelle que {p k } est la base des polynˆ omes orthogonaux introduite `
a la
Section 9.1). En particulier, ses racines {x j } co¨ ıncident avec celles de p n+1 :
p n+1 (x j ) = 0,
j = 0, . . ., n.
(9.18)
Les points {x j } sont les noeuds de Gauss associ´ es au poids w(x). On peut `
a
pr´ esent conclure que la formule de quadrature (9.15), dont les coefficients et
les noeuds sont donn´ es respectivement par (9.16) et (9.18), a un degr´ e d’exactitude ´ egal ` a 2n + 1, c’est-` a-dire le degr´ e maximal pouvant ˆ etre atteint avec
une formule interpolatoire `
a n + 1 noeuds. On l’appelle formule de quadrature
de Gauss.
Ses poids sont tous positifs et ses noeuds sont dans l’intervalle ouvert ] −
1, 1[ (voir p. ex. [CHQZ06], p. 70). N´ eanmoins, il peut ˆ etre utile de prendre
aussi les extr´ emit´ es de l’intervalle comme noeuds de quadrature. La formule
de Gauss ainsi obtenue poss´ edant le plus grand degr´ e d’exactitude est celle
ayant pour noeuds les n + 1 racines du polynˆ ome
ω n+1 (x) = p n+1 (x) + ap n (x) + bp n−1 (x),
(9.19)
o` u les constantes a et b sont telles que ω n+1 (−1) = ω n+1 (1) = 0.
En notant ces racines x 0 = −1, x 1 , . . ., x n = 1, les coefficients {α i , i =
0, . . . , n} peuvent ˆ etre obtenus avec les formules usuelles (9.16) :
α i =
1
−1
l i (x)w(x)dx,
i = 0, . . . , n,
(9.20)
o` u l i ∈ P n est le i-i` eme polynˆ ome caract´ eristique de Lagrange, c’est-` a-dire tel
que l i (x j ) = δ ij pour i, j = 0, . . . , n. La formule de quadrature
I
GL
n,w (f) =
n
i=0
α i f(x i )
(9.21)