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9 Polynˆ omes orthogonaux en th´ eorie de l’approximation
On peut obtenir un degr´ e d’exactitude (au moins) ´ egal ` a n en prenant
I n,w (f) =
1
−1
Π n f(x)w(x)dx,
o` u Π n f ∈ P n est le polynˆ ome d’interpolation de Lagrange de la fonction f
aux noeuds {x i , i = 0, . . . , n} d´ efini par (7.4). La formule (9.15) a alors un
degr´ e d’exactitude ´ egal ` a n si on prend
α i =
1
−1
l i (x)w(x)dx,
i = 0, . . ., n,
(9.16)
o` u l i ∈ P n est le i-i` eme polynˆ ome caract´ eristique de Lagrange, c’est-` a-dire tel
que l i (x j ) = δ ij pour i, j = 0, . . ., n.
Se pose alors la question de savoir s’il existe des choix de noeuds permettant d’obtenir un degr´ e d’exactitude sup´ erieur `
a n, disons ´ egal ` a r = n + m
pour un m > 0. La r´ eponse ` a cette question est fournie par le th´ eor` eme suivant, dˆ u `
a Jacobi [Jac26].
Th´ eor` eme 9.1 Pour un entier m > 0 donn´ e, la formule de quadrature (9.15)
a un degr´ e d’exactitude n + m si et seulement si elle est de type interpolatoire
et si le polynˆ ome nodal ω n+1 (7.6) associ´ e aux noeuds {x i } est tel que
1
−1
ω n+1 (x)p(x)w(x)dx = 0
∀p ∈ P m−1 .
(9.17)
D´ emonstration. Montrons que ces conditions sont suffisantes. Si f ∈ Pn+m, il
existe πm−1 ∈ Pm−1 et qn ∈ Pn tels que f = ωn+1πm−1 + qn (πm−1 est le quotient et
qn le reste de la division euclidienne). Puisque le degr´ e d’exactitude d’une formule
interpolatoire `
a n + 1 noeuds est au moins ´ egal `
a n, on a
n
i=0
αiqn(xi) =
1
−1
qn(x)w(x)dx =
1
−1
f (x)w(x)dx −
1
−1
ωn+1(x)πm−1(x)w(x)dx.
D’apr` es (9.17), la derni` ere int´ egrale est nulle, et donc
1
−1
f (x)w(x)dx =
n
i=0
αiqn(xi) =
n
i=0
αif (xi).
Le polynˆ ome f ´ etant arbitraire, on en d´ eduit que En,w(f ) = 0 pour tout f ∈ Pn+m.
On laisse au lecteur le soin de montrer que les conditions sont aussi n´ ecessaires. 3
Corollaire 9.1 Le degr´ e d’exactitude maximal de la formule de quadrature (9.15) ` a n + 1 noeuds est ´ egal `
a 2n + 1.
9 Polynˆ omes orthogonaux en th´ eorie de l’approximation
On peut obtenir un degr´ e d’exactitude (au moins) ´ egal ` a n en prenant
I n,w (f) =
1
−1
Π n f(x)w(x)dx,
o` u Π n f ∈ P n est le polynˆ ome d’interpolation de Lagrange de la fonction f
aux noeuds {x i , i = 0, . . . , n} d´ efini par (7.4). La formule (9.15) a alors un
degr´ e d’exactitude ´ egal ` a n si on prend
α i =
1
−1
l i (x)w(x)dx,
i = 0, . . ., n,
(9.16)
o` u l i ∈ P n est le i-i` eme polynˆ ome caract´ eristique de Lagrange, c’est-` a-dire tel
que l i (x j ) = δ ij pour i, j = 0, . . ., n.
Se pose alors la question de savoir s’il existe des choix de noeuds permettant d’obtenir un degr´ e d’exactitude sup´ erieur `
a n, disons ´ egal ` a r = n + m
pour un m > 0. La r´ eponse ` a cette question est fournie par le th´ eor` eme suivant, dˆ u `
a Jacobi [Jac26].
Th´ eor` eme 9.1 Pour un entier m > 0 donn´ e, la formule de quadrature (9.15)
a un degr´ e d’exactitude n + m si et seulement si elle est de type interpolatoire
et si le polynˆ ome nodal ω n+1 (7.6) associ´ e aux noeuds {x i } est tel que
1
−1
ω n+1 (x)p(x)w(x)dx = 0
∀p ∈ P m−1 .
(9.17)
D´ emonstration. Montrons que ces conditions sont suffisantes. Si f ∈ Pn+m, il
existe πm−1 ∈ Pm−1 et qn ∈ Pn tels que f = ωn+1πm−1 + qn (πm−1 est le quotient et
qn le reste de la division euclidienne). Puisque le degr´ e d’exactitude d’une formule
interpolatoire `
a n + 1 noeuds est au moins ´ egal `
a n, on a
n
i=0
αiqn(xi) =
1
−1
qn(x)w(x)dx =
1
−1
f (x)w(x)dx −
1
−1
ωn+1(x)πm−1(x)w(x)dx.
D’apr` es (9.17), la derni` ere int´ egrale est nulle, et donc
1
−1
f (x)w(x)dx =
n
i=0
αiqn(xi) =
n
i=0
αif (xi).
Le polynˆ ome f ´ etant arbitraire, on en d´ eduit que En,w(f ) = 0 pour tout f ∈ Pn+m.
On laisse au lecteur le soin de montrer que les conditions sont aussi n´ ecessaires. 3
Corollaire 9.1 Le degr´ e d’exactitude maximal de la formule de quadrature (9.15) ` a n + 1 noeuds est ´ egal `
a 2n + 1.