9.6 Impl´ ementations des quadratures de Gauss
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Comme dans le cas pr´ ec´ edent, en posant ϕ(x) = f(x)e
x
2 , on a I(f) =
∞
−∞
f(x)dx =
∞
−∞
e
−x
2 ϕ(x)dx. En appliquant `
a cette derni` ere int´ egrale les
quadratures de Gauss-Hermite on obtient, pour n ≥ 1 et f ∈ C
2n (R)
I(f) =
∞
−∞
e
−x
2
ϕ(x)dx =
n
k=1
α k ϕ(x k ) +
(n!)
√
π
2 n (2n)!
ϕ
(2n) (ξ),
ξ ∈ R, (9.45)
o` u les noeuds x k , k = 1, . . . , n, sont les z´ eros de H n et les poids sont α k =
2
n+1 n!
√
π/[H n+1 (x k )]
2 . Comme pour les quadratures de Gauss-Laguerre, les
formules de Gauss-Hermite sont exactes pour des fonctions f de la forme
ϕe
−x
2 , o` u ϕ ∈ P 2n−1 .
On trouvera plus de d´ etails sur ce sujet dans [DR75], p. 173-174.
9.6 Impl´ ementations des quadratures de Gauss
Les programmes MATLAB 70, 71 et 72 calculent les coefficients {α k } et
{β k } introduits en (9.9), dans le cas des polynˆ omes de Legendre, Laguerre
et Hermite. Ces programmes sont appel´ es par le Programme 73 qui calcule
les noeuds et les poids (9.35) pour les formules de Gauss-Legendre, et par
les Programmes 74, 75 qui calculent les noeuds et les poids pour les formules
de Gauss-Laguerre (9.44) et Gauss-Hermite (9.45). Tous les codes de cette
section sont extraits de la biblioth` eque ORTHPOL [Gau94].
Programme 70 - coeflege : Coefficients des polynˆ omes de Legendre
function [a,b]=coeflege(n)
%COEFLEGE Coefficients des polynˆ omes de Legendre.
% [A,B]=COEFLEGE(N): A et B sont les coefficients alpha(k) et beta(k)
% du polynˆ ome de Legendre de degr´ e N.
if n<=1, error(’n doit ˆ etre >1’);end a
= zeros(n,1); b=a; b(1)=2; k=[2:n]; b(k)=1./(4-1./(k-1).ˆ2);
return
Programme 71 - coeflagu : Coefficients des polynˆ omes de Laguerre
function [a,b]=coeflagu(n)
%COEFLAGU Coefficients des polynˆ omes de Laguerre.
% [A,B]=COEFLAGU(N): A et B sont les coefficients alpha(k) et beta(k)
% du polynˆ ome de Laguerre de degr´ e N.
if n<=1, error(’n doit ˆ etre >1 ’); end
a=zeros(n,1); b=zeros(n,1); a(1)=1; b(1)=1; k=[2:n];
a(k)=2*(k-1)+1; b(k)=(k-1).ˆ2; return