336
9 Polynˆ omes orthogonaux en th´ eorie de l’approximation
On peut les construire par r´ ecurrence ` a l’aide de la formule (cons´ equence de
(9.8), voir [DR75], p. 25-26)
⎧
⎨
⎩
T k+1 (x) = 2xT k (x) − T k−1 (x),
k= 1, 2, . . .
T 0 (x) = 1,
T 1 (x) = x.
(9.12)
En particulier, pour tout k ≥ 0, on note que T k ∈ P k , i.e. T k (x) est un polynˆ ome de degr´ e k par rapport `
a x. En utilisant des formules trigonom´ etriques
bien connues, on a
(T k , T n ) w = 0 si k = n, (T n , T n ) w =
c 0 = π
si n = 0,
c n = π/2 si n = 0,
ce qui exprime l’orthogonalit´ e des polynˆ omes de Chebyshev par rapport au
produit scalaire (·, ·) w . La s´ erie de Chebyshev d’une fonction f ∈ L
2
w s’´ ecrit
alors
Cf =
∞
k=0
f k T k avec
f k =
1
c k
1
−1
f(x)T k (x)(1 − x
2 )
−1/2 dx.
Signalons aussi que T n ∞ = 1 pour tout n et qu’on a la propri´ et´ e du minimax
suivante
1−n T n ∞ ≤ min
p∈P 1
n
∞ pour n ≥ 1,
o` u P
1
n = {p(x) =
n
k=0 a k x
k , a n = 1} d´ esigne le sous-ensemble des polynˆ omes
de degr´ e n et de coefficient dominant ´ egal ` a 1.
9.1.2 Les polynˆ omes de Legendre
Les polynˆ omes de Legendre sont des polynˆ omes orthogonaux sur l’intervalle
] − 1, 1[ par rapport `
a la fonction poids w(x) = 1. L’espace (9.1) est dans ce
cas donn´ e par
L
2 (−1, 1) =
⎧
⎨
⎩
f : (−1, 1) → R,
1
−1
|f(x)|
2 dx < +∞
⎫
⎬
⎭
,
(9.13)
o` u (·, ·) w et · · w sont d´ efinis par
(f, g) =
1
−1
f(x)g(x) dx, f L 2 (−1,1) =
⎛
⎝
1
−1
f
2 (x) dx
⎞
⎠
1
2
.