9.1 Approximation de fonctions par des s´ eries de Fourier g´ en´ eralis´ ees
335
o` u, pour toute fonction continue f et g, (f, g) n est l’approximation du produit
scalaire (f, g) w et g n =
(g, g) n est la semi-norme associ´ ee ` a (·, ·) w . De
mani` ere analogue `
a ce qui a ´ et´ e fait pour f n , on peut v´ erifier que
− f
∗
n n = min
q∈Pn
f − q n
(9.7)
et on dit que f
∗
n est l’approximation de f dans P n au sens des moindres carr´ es
(la raison de cette d´ enomination sera expliqu´ ee plus loin).
Nous concluons cette section en indiquant que pour toute famille de polynˆ omes orthogonaux {p k } (avec coefficients dominants ´ egaux `
a 1), on a la formule de r´ ecurrence ` a trois termes suivante (pour la preuve, voir par exemple
[Gau96]) :
p k+1 (x) = (x − α k )p k (x) − β k p k−1 (x),
k≥ 0,
p −1 (x) = 0, p 0 (x) = 1,
(9.8)
o` u
α k =
(xp k , p k ) w
(p k , p k ) w
,
β k+1 =
(p k+1 , p k+1 ) w
(p k , p k ) w
,
k≥ 0.
(9.9)
Comme p −1 = 0, le coefficient β 0 est arbitraire. On le choisit en fonction de la
famille de polynˆ omes consid´ er´ ee. Cette relation de r´ ecurrence est g´ en´ eralement
stable ; elle peut donc ˆ etre utilis´ ee efficacement dans les calculs num´ eriques,
comme on le verra ` a la Section 9.6.
Nous introduisons dans les prochaines sections deux familles importantes de
polynˆ omes orthogonaux.
9.1.1 Les polynˆ omes de Chebyshev
Consid´ erons la fonction poids de Chebyshev w(x) = (1 − x
2 )
−1/2 sur l’intervalle ] − 1, 1[, et, conform´ ement ` a (9.1), introduisons l’espace des fonctions de
carr´ e int´ egrable par rapport au poids w
L
2
w =
f :] − 1, 1[→ R :
1
−1
f
2 (x)(1 − x
2 )
−1/2 dx < ∞
.
On d´ efinit sur cet espace un produit scalaire et une norme :
(f, g) w =
1
−1
f(x)g(x)(1 − x
2 )
−1/2 dx,
w =
⎧
⎨
⎩
1
−1
f
2 (x)(1 − x
2 )
−1/2 dx
⎫
⎬
⎭
1/2
.
(9.10)
Les polynˆ omes de Chebyshev sont donn´ es par
T k (x) = cos kθ, θ = arccos x, k = 0, 1, 2, . . .
(9.11)
335
o` u, pour toute fonction continue f et g, (f, g) n est l’approximation du produit
scalaire (f, g) w et g n =
(g, g) n est la semi-norme associ´ ee ` a (·, ·) w . De
mani` ere analogue `
a ce qui a ´ et´ e fait pour f n , on peut v´ erifier que
− f
∗
n n = min
q∈Pn
f − q n
(9.7)
et on dit que f
∗
n est l’approximation de f dans P n au sens des moindres carr´ es
(la raison de cette d´ enomination sera expliqu´ ee plus loin).
Nous concluons cette section en indiquant que pour toute famille de polynˆ omes orthogonaux {p k } (avec coefficients dominants ´ egaux `
a 1), on a la formule de r´ ecurrence ` a trois termes suivante (pour la preuve, voir par exemple
[Gau96]) :
p k+1 (x) = (x − α k )p k (x) − β k p k−1 (x),
k≥ 0,
p −1 (x) = 0, p 0 (x) = 1,
(9.8)
o` u
α k =
(xp k , p k ) w
(p k , p k ) w
,
β k+1 =
(p k+1 , p k+1 ) w
(p k , p k ) w
,
k≥ 0.
(9.9)
Comme p −1 = 0, le coefficient β 0 est arbitraire. On le choisit en fonction de la
famille de polynˆ omes consid´ er´ ee. Cette relation de r´ ecurrence est g´ en´ eralement
stable ; elle peut donc ˆ etre utilis´ ee efficacement dans les calculs num´ eriques,
comme on le verra ` a la Section 9.6.
Nous introduisons dans les prochaines sections deux familles importantes de
polynˆ omes orthogonaux.
9.1.1 Les polynˆ omes de Chebyshev
Consid´ erons la fonction poids de Chebyshev w(x) = (1 − x
2 )
−1/2 sur l’intervalle ] − 1, 1[, et, conform´ ement ` a (9.1), introduisons l’espace des fonctions de
carr´ e int´ egrable par rapport au poids w
L
2
w =
f :] − 1, 1[→ R :
1
−1
f
2 (x)(1 − x
2 )
−1/2 dx < ∞
.
On d´ efinit sur cet espace un produit scalaire et une norme :
(f, g) w =
1
−1
f(x)g(x)(1 − x
2 )
−1/2 dx,
w =
⎧
⎨
⎩
1
−1
f
2 (x)(1 − x
2 )
−1/2 dx
⎫
⎬
⎭
1/2
.
(9.10)
Les polynˆ omes de Chebyshev sont donn´ es par
T k (x) = cos kθ, θ = arccos x, k = 0, 1, 2, . . .
(9.11)