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9 Polynˆ omes orthogonaux en th´ eorie de l’approximation
est appel´ ee s´ erie de Fourier (g´ en´ eralis´ ee) de f, et
f k est le k-i` eme coefficient
de Fourier. Pour tout entier n, on pose
f n (x) =
n
k=0
f k p k (x).
(9.2)
On dit que f n ∈ P n est la troncature `
a l’ordre n de la s´ erie de Fourier de f.
On a alors le r´ esultat de convergence suivant :
lim
n→+∞
f − f n w = 0.
On traduit ceci en disant que Sf converge vers f en moyenne quadratique, ou
au sens L
2
w . On a de plus l’´ egalit´ e de Parseval :
2
w =
+∞
k=0
f
2
k k
2
w ,
et, pour tout n, f − f n
2
w =
+∞
k=n+1
f
2
k k
2
w est la norme au carr´ e du reste
de la s´ erie de Fourier.
Le polynˆ ome f n ∈ P n poss` ede la propri´ et´ e suivante :
− f n w = min
q∈Pn
f − q w .
(9.3)
En effet, puisque f − f n =
+∞
k=n+1
f k p k , l’orthogonalit´ e des polynˆ omes {p k }
implique (f − f n , q) w = 0 ∀q ∈ P n . Or
− f n
2
w
= (f − f n , f − f n ) w = (f − f n , f − q) w + (f − f n , q − f n ) w ,
en utilisant l’in´ egalit´ e de Cauchy-Schwarz
(f, g) w ≤ ≤f w g w ,
(9.4)
valable pour f, g ∈ L
2
w , on a donc
− f n
2
w ≤ ≤f − f n w f − q w ∀q ∈ P n .
Comme q est arbitraire dans P n , on en d´ eduit (9.3). On dit alors que f n est
la projection orthogonale de f sur P n au sens L
2
w . Cette propri´ et´ e montre
l’int´ erˆ et de calculer num´ eriquement les coefficients
f k de f n . En notant ˜
f k les
approximations de
f k , appel´ es coefficients discrets de f, on d´ efinit le nouveau
polynˆ ome
f
∗
n (x) =
n
k=0
˜
f k p k (x)
(9.5)
appel´ e troncature discr` ete ` a l’ordre n de la s´ erie de Fourier de f. Typiquement,
˜
f k =
(f, p k ) n
p k 2
n
,
(9.6)