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Polynˆ omes orthogonaux en th´ eorie
de l’approximation
Les polynˆ omes orthogonaux (p. ex. ceux de Legendre, de Chebyshev ou les polynˆ omes trigonom´ etriques de Fourier) sont tr` es largement utilis´ es en th´ eorie de
l’approximation. Ce chapitre pr´ esente leurs principales propri´ et´ es et introduit
les transformations associ´ ees. Nous verrons en particulier la transformation de
Fourier discr` ete et l’algorithme de transformation de Fourier rapide (FFT).
Des applications `
a l’interpolation, `
a l’approximation par moindres carr´ es, ` a la
diff´ erentiation num´ erique et ` a l’int´ egration de Gauss seront ´ egalement expos´ ees.
9.1 Approximation de fonctions par des s´ eries de
Fourier g´ en´ eralis´ ees
Soit w = w(x) une fonction poids sur l’intervalle ] − 1, 1[, c’est-` a-dire une
fonction positive, int´ egrable. On se donne une famille {p k , k = 0, 1, . . .}, o` u
les p k sont des polynˆ omes de degr´ e k deux `
a deux orthogonaux par rapport `
a
w, c’est-` a-dire tels que
1
−1
p k (x)p m (x)w(x)dx = 0
si k = m.
On pose (f, g) w =
1
−1
f(x)g(x)w(x)dx et f w = (f, f)
1/2
w ; noter que (·, ·) w
d´ efinit un produit scalaire et · · w la norme associ´ ee sur l’espace fonctionnel
L
2
w = L
2
w (−1, 1) =
f :] − 1, 1[→ R,
1
−1
f
2 (x)w(x)dx < ∞
.
(9.1)
Pour toute fonction f ∈ L
2
w , la s´ erie
Sf =
+∞
k=0
f k p k avec
f k =
(f, p k ) w
p k 2
w
,