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8 Int´ egration num´ erique
(a) I2(f ) = (2/3)[2f (−1/2) − f (0) + 2f (1/2)] ;
(b) I4(f ) = (1/4)[f (−1) + 3f (−1/3) + 3f (1/3) + f (1)].
Quel est l’ordre infinit´ esimal p pour (a) et (b) ?
[Solution : r = 3 et p = 5 pour I2(f ) et I4(f ).]
4. Calculer df [x0, . . . , xn, x]/dx en v´ erifiant (8.22).
[Indication : calculer directement la d´ eriv´ ee en x comme un quotient incr´ emental, pour un seul noeud x0, puis augmenter progressivement l’ordre des
diff´ erences divis´ ees.]
5. Soit Iw(f ) =
1
0
w(x)f (x)dx avec w(x) =
√
x, et soit la formule de quadrature
Q(f ) = af (x1). Trouver a et x1 tels que Q ait un degr´ e d’exactitude r maximal.
[Solution : a = 2/3, x1 = 3/5 et r = 1.]
6. Soit la formule de quadrature Q(f ) = α1f (0) + α2f (1) + α3f
(0) pour l’approximation de I(f ) =
1
0
f (x)dx, o` u f ∈ C
1 ([0, 1]). D´ eterminer les coefficients αj,
pour j = 1, 2, 3 tels que Q ait un degr´ e d’exactitude r = 2.
[Solution : α1 = 2/3, α2 = 1/3 et α3 = 1/6.]
7. Appliquer les formules composites du point milieu, du trap` eze et de CavalieriSimpson pour approcher l’int´ egrale
1
−1
|x|e
x dx,
et discuter leur convergence en fonction de la taille H des sous-intervalles.
8. Consid´ erer l’int´ egrale I(f ) =
1
0
e
x dx et estimer le nombre minimum m de sousintervalles n´ ecessaire au calcul de I(f ) avec une erreur absolue ≤ 5 · 10
−4 en
utilisant les formules composites du trap` eze (TR) et de Cavalieri-Simpson (CS).
Evaluer dans les deux cas l’erreur absolue Err effectivement commise.
[Solution : pour TR, on a m = 17 et Err = 4.95 · 10
−4 , et pour CS, m = 2 et
Err = 3.70 · 10
−5 .]
9. Indiquer une formule de quadrature pour calculer les int´ egrales suivantes avec
une erreur inf´ erieure `
a 10
−4 :
a)
∞
0
sin(x)/(1 + x
4 )dx ;
b)
∞
0
e
−x (1 + x)
−5 dx ;
c)
∞
−∞
cos(x)e
−x 2 dx.
10. En int´ egrant le polynˆ ome osculateur d’Hermite HN−1 (d´ efini dans l’Exemple 7.6)
sur l’intervalle [a, b], ´ etablir la formule de quadrature d’Hermite
I
H
N −1 (f ) =
n
i=0
⎛
⎝ yi
b
a
Ai(x) dx + y
(1)
i
b
a
Bi(x) dx
⎞
⎠ .
En prenant n = 1, en d´ eduire la formule du trap` eze corrig´ ee
I
corr
1
(f ) =
b − a
2
[y0 + y1] +
(b − a)
2
12
y
(1)
0 − y
(1)
1
.
(8.56)
8 Int´ egration num´ erique
(a) I2(f ) = (2/3)[2f (−1/2) − f (0) + 2f (1/2)] ;
(b) I4(f ) = (1/4)[f (−1) + 3f (−1/3) + 3f (1/3) + f (1)].
Quel est l’ordre infinit´ esimal p pour (a) et (b) ?
[Solution : r = 3 et p = 5 pour I2(f ) et I4(f ).]
4. Calculer df [x0, . . . , xn, x]/dx en v´ erifiant (8.22).
[Indication : calculer directement la d´ eriv´ ee en x comme un quotient incr´ emental, pour un seul noeud x0, puis augmenter progressivement l’ordre des
diff´ erences divis´ ees.]
5. Soit Iw(f ) =
1
0
w(x)f (x)dx avec w(x) =
√
x, et soit la formule de quadrature
Q(f ) = af (x1). Trouver a et x1 tels que Q ait un degr´ e d’exactitude r maximal.
[Solution : a = 2/3, x1 = 3/5 et r = 1.]
6. Soit la formule de quadrature Q(f ) = α1f (0) + α2f (1) + α3f
(0) pour l’approximation de I(f ) =
1
0
f (x)dx, o` u f ∈ C
1 ([0, 1]). D´ eterminer les coefficients αj,
pour j = 1, 2, 3 tels que Q ait un degr´ e d’exactitude r = 2.
[Solution : α1 = 2/3, α2 = 1/3 et α3 = 1/6.]
7. Appliquer les formules composites du point milieu, du trap` eze et de CavalieriSimpson pour approcher l’int´ egrale
1
−1
|x|e
x dx,
et discuter leur convergence en fonction de la taille H des sous-intervalles.
8. Consid´ erer l’int´ egrale I(f ) =
1
0
e
x dx et estimer le nombre minimum m de sousintervalles n´ ecessaire au calcul de I(f ) avec une erreur absolue ≤ 5 · 10
−4 en
utilisant les formules composites du trap` eze (TR) et de Cavalieri-Simpson (CS).
Evaluer dans les deux cas l’erreur absolue Err effectivement commise.
[Solution : pour TR, on a m = 17 et Err = 4.95 · 10
−4 , et pour CS, m = 2 et
Err = 3.70 · 10
−5 .]
9. Indiquer une formule de quadrature pour calculer les int´ egrales suivantes avec
une erreur inf´ erieure `
a 10
−4 :
a)
∞
0
sin(x)/(1 + x
4 )dx ;
b)
∞
0
e
−x (1 + x)
−5 dx ;
c)
∞
−∞
cos(x)e
−x 2 dx.
10. En int´ egrant le polynˆ ome osculateur d’Hermite HN−1 (d´ efini dans l’Exemple 7.6)
sur l’intervalle [a, b], ´ etablir la formule de quadrature d’Hermite
I
H
N −1 (f ) =
n
i=0
⎛
⎝ yi
b
a
Ai(x) dx + y
(1)
i
b
a
Bi(x) dx
⎞
⎠ .
En prenant n = 1, en d´ eduire la formule du trap` eze corrig´ ee
I
corr
1
(f ) =
b − a
2
[y0 + y1] +
(b − a)
2
12
y
(1)
0 − y
(1)
1
.
(8.56)