8.9 Exercices
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Programme 68 - midptr2d : Formule du point milieu sur un triangle
function int=midptr2d(xv,yv,fun)
%MIDPTR2D Formule du point milieu sur un triangle.
% INT=MIDPTR2D(XV,YV,FUN) calcule l’int´ egrale de FUN sur le triangle de
% sommets XV(K),YV(K), K=1,2,3. FUN est une fonction de x et y.
y12=yv(1)-yv(2);
y23=yv(2)-yv(3);
y31=yv(3)-yv(1);
areat=0.5*abs(xv(1)*y23+xv(2)*y31+xv(3)*y12);
x=sum(xv)/3; y=sum(yv)/3;
int=areat*eval(fun);
return
Programme 69 - traptr2d : Formule du trap` eze sur un triangle
function int=traptr2d(xv,yv,fun)
%TRAPTR2D Formule du trap` eze sur un triangle.
% INT=TRAPTR2D(XV,YV,FUN) calcule l’int´ egrale de FUN sur le triangle de
% sommets XV(K),YV(K), K=1,2,3. FUN est une fonction de x et y.
y12=yv(1)-yv(2);
y23=yv(2)-yv(3);
y31=yv(3)-yv(1);
areat=0.5*abs(xv(1)*y23+xv(2)*y31+xv(3)*y12);
int=0;
for i=1:3
x=xv(i); y=yv(i); int=int+eval(fun);
end
int=int*areat/3;
return
8.9 Exercices
1. Soient E0(f ) et E1(f ) les erreurs de quadrature dans (8.6) et (8.12). Prouver
que |E1(f )| | 2|E0(f )|.
2. V´ erifier que les estimations d’erreur pour les formules du point milieu, du
trap` eze et de Cavalieri-Simpson, donn´ ees respectivement par (8.6), (8.12) et
(8.16), sont des cas particuliers de (8.19) ou (8.20). Montrer en particulier que
M0 = 2/3, K1 = −1/6 et M2 = −4/15 et d´ eterminer le degr´ e d’exactitude r de
chaque formule.
[Indication : trouver r tel que In(x
k ) =
b
a
x
k dx pour k = 0, . . . , r, et In(x
j ) =
b
a
x
j dx pour j > r.]
3. Soit In(f ) =
n
k=0 αkf (xk) une formule de quadrature de Lagrange `
a n + 1
noeuds. Calculer le degr´ e d’exactitude r des formules :