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8 Int´ egration num´ erique
On peut montrer le r´ esultat suivant (voir [IK66], p. 361–362) :
Propri´ et´ e 8.4 On suppose que la formule de quadrature (8.52) a un degr´ e
d’exactitude sur Ω ´ egal `
a n, avec n ≥ 0. Alors, il existe une constante positive
K, ind´ ependante de h, telle que
|E
c
k (f)| ≤ K n h
n+1
|Ω|M n+1 ,
(8.55)
pour toute fonction f ∈ C
n+1 (Ω), o` u M n+1 est la valeur maximale des modules
des d´ eriv´ ees d’ordre n + 1 de f et |Ω| est l’aire de Ω.
Les formules composites (8.53) et (8.54) ont toutes les deux un degr´ e d’exactitude ´ egal ` a 1 ; donc, d’apr` es la Propri´ et´ e 8.4, leur ordre infinit´ esimal par
rapport `
a h est ´ egal ` a 2.
Les formules sym´ etriques constituent une autre famille de quadratures sur
les triangles. Ce sont des formules de Gauss ` a n noeuds, poss´ edant un haut
degr´ e d’exactitude, et ayant la propri´ et´ e d’avoir des noeuds de quadratures
qui occupent des positions “sym´ etriques”.
En consid´ erant un triangle arbitraire T ∈ T h et en notant a
T
(j) , j = 1, 2, 3, les
milieux des arˆ etes de T , voici deux exemples de formules sym´ etriques, ayant
respectivement un degr´ e d’exactitude ´ egal ` a 2 et 3 :
I 3 (f) =
|T |
3
3
j=1
f(a
T
(j) ),
n= 3,
I 7 (f) =
|T |
60
⎛
⎝ 3
3
j=1
f(a
T
j ) + 8
3
j=1
f(a
T
(j) ) + 27f(a
T )
⎞
⎠ ,
n= 7.
Pour une description et une analyse des formules sym´ etriques pour les triangles, voir [Dun85]. Pour leur extension aux t´ etra` edres et aux cubes, voir
[Kea86] et [Dun86].
Les formules de quadrature composites (8.53) et (8.54) sont impl´ ement´ ees en MATLAB dans les Programmes 68 et 69 pour les approximations des
int´ egrales
T
f(x, y)dxdy, o` u T est un triangle quelconque. Pour calculer l’int´ egrale sur Ω, il suffit d’additionner les r´ esultats fournis par le programme
sur chaque triangle de T h . Les coordonn´ ees des sommets du triangle T sont
stock´ ees dans les tableaux xv et yv.
8 Int´ egration num´ erique
On peut montrer le r´ esultat suivant (voir [IK66], p. 361–362) :
Propri´ et´ e 8.4 On suppose que la formule de quadrature (8.52) a un degr´ e
d’exactitude sur Ω ´ egal `
a n, avec n ≥ 0. Alors, il existe une constante positive
K, ind´ ependante de h, telle que
|E
c
k (f)| ≤ K n h
n+1
|Ω|M n+1 ,
(8.55)
pour toute fonction f ∈ C
n+1 (Ω), o` u M n+1 est la valeur maximale des modules
des d´ eriv´ ees d’ordre n + 1 de f et |Ω| est l’aire de Ω.
Les formules composites (8.53) et (8.54) ont toutes les deux un degr´ e d’exactitude ´ egal ` a 1 ; donc, d’apr` es la Propri´ et´ e 8.4, leur ordre infinit´ esimal par
rapport `
a h est ´ egal ` a 2.
Les formules sym´ etriques constituent une autre famille de quadratures sur
les triangles. Ce sont des formules de Gauss ` a n noeuds, poss´ edant un haut
degr´ e d’exactitude, et ayant la propri´ et´ e d’avoir des noeuds de quadratures
qui occupent des positions “sym´ etriques”.
En consid´ erant un triangle arbitraire T ∈ T h et en notant a
T
(j) , j = 1, 2, 3, les
milieux des arˆ etes de T , voici deux exemples de formules sym´ etriques, ayant
respectivement un degr´ e d’exactitude ´ egal ` a 2 et 3 :
I 3 (f) =
|T |
3
3
j=1
f(a
T
(j) ),
n= 3,
I 7 (f) =
|T |
60
⎛
⎝ 3
3
j=1
f(a
T
j ) + 8
3
j=1
f(a
T
(j) ) + 27f(a
T )
⎞
⎠ ,
n= 7.
Pour une description et une analyse des formules sym´ etriques pour les triangles, voir [Dun85]. Pour leur extension aux t´ etra` edres et aux cubes, voir
[Kea86] et [Dun86].
Les formules de quadrature composites (8.53) et (8.54) sont impl´ ement´ ees en MATLAB dans les Programmes 68 et 69 pour les approximations des
int´ egrales
T
f(x, y)dxdy, o` u T est un triangle quelconque. Pour calculer l’int´ egrale sur Ω, il suffit d’additionner les r´ esultats fournis par le programme
sur chaque triangle de T h . Les coordonn´ ees des sommets du triangle T sont
stock´ ees dans les tableaux xv et yv.