8.8 Int´ egration num´ erique multidimensionnelle
325
Les formules de quadrature composites interpolatoires sur les triangles peuvent ˆ etre obtenues exactement comme dans le cas monodimensionnel en rempla¸ cant
Ω f(x, y)dxdy par
Ω Π
k
h f(x, y)dxdy, o` u, pour k ≥ 0, Π
k
h f est le
polynˆ ome d’interpolation composite de f sur la triangulation T h introduite `
a
la Section 7.5.2.
Pour un calcul efficace de cette derni` ere int´ egrale, on utilise la propri´ et´ e
d’additivit´ e combin´ ee avec (7.29). Ceci conduit ` a la formule composite interpolatoire
I
c
k (f) =
Ω
Π
k
h f(x, y)dxdy =
T ∈Th
T
Π
k
T f(x, y)dxdy =
T ∈Th
I
T
k (f)
=
T ∈Th
dk−1
j=0
f(˜ z
T
j )
T
l
T
j (x, y)dxdy =
T ∈Th
dk−1
j=0
α
T
j f(˜ z
T
j ).
(8.52)
Les coefficients α
T
j et les points ˜ z
T
j sont respectivement appel´ es poids et noeuds
locaux de la formule de quadrature (8.52).
Les poids α
T
j peuvent ˆ etre calcul´ es sur le triangle de r´ ef´ erence ˆ
T de sommets (0, 0), (1, 0) et (0, 1), comme suit
α
T
j =
T
l
T
j (x, y)dxdy = 2|T |
ˆ
T
ˆ l j (ˆ x, ˆ
y)dˆ xdˆ y, j = 0, . . ., d k − 1, ∀T ∈ T h ,
o` u |T | est l’aire de T . Si k = 0, on a α
T
0 = |T |, et si k = 1 on a α
T
j = |T |/3, pour
j = 0, 1, 2. En notant respectivement a
T
j et a
T =
3
j=1 (a
T
j )/3, j = 1, 2, 3, les
sommets et le centre de gravit´ e du triangle T ∈ T h , on obtient les formules
suivantes.
Formule composite du point milieu (k = 0 dans 8.52)
I
c
0 (f) =
T ∈Th
|T |f(a
T ).
(8.53)
Formule composite du trap` eze (k = 1 dans 8.52)
I
c
1 (f) =
1
3
T ∈Th
|T |
3
j=1
f(a
T
j ).
(8.54)
Pour l’analyse d’erreur de quadrature E
c
k (f) = I(f) − I
c
k (f), on introduit la
d´ efinition suivante :
D´ efinition 8.1 La formule de quadrature (8.52) a un degr´ e d’exactitude ´ egal
` a n, avec n ≥ 0, si I
T
k (p) =
T pdxdy pour tout p ∈ P n (
T ), o` u P n (
T ) est d´ efini
en (7.26).
325
Les formules de quadrature composites interpolatoires sur les triangles peuvent ˆ etre obtenues exactement comme dans le cas monodimensionnel en rempla¸ cant
Ω f(x, y)dxdy par
Ω Π
k
h f(x, y)dxdy, o` u, pour k ≥ 0, Π
k
h f est le
polynˆ ome d’interpolation composite de f sur la triangulation T h introduite `
a
la Section 7.5.2.
Pour un calcul efficace de cette derni` ere int´ egrale, on utilise la propri´ et´ e
d’additivit´ e combin´ ee avec (7.29). Ceci conduit ` a la formule composite interpolatoire
I
c
k (f) =
Ω
Π
k
h f(x, y)dxdy =
T ∈Th
T
Π
k
T f(x, y)dxdy =
T ∈Th
I
T
k (f)
=
T ∈Th
dk−1
j=0
f(˜ z
T
j )
T
l
T
j (x, y)dxdy =
T ∈Th
dk−1
j=0
α
T
j f(˜ z
T
j ).
(8.52)
Les coefficients α
T
j et les points ˜ z
T
j sont respectivement appel´ es poids et noeuds
locaux de la formule de quadrature (8.52).
Les poids α
T
j peuvent ˆ etre calcul´ es sur le triangle de r´ ef´ erence ˆ
T de sommets (0, 0), (1, 0) et (0, 1), comme suit
α
T
j =
T
l
T
j (x, y)dxdy = 2|T |
ˆ
T
ˆ l j (ˆ x, ˆ
y)dˆ xdˆ y, j = 0, . . ., d k − 1, ∀T ∈ T h ,
o` u |T | est l’aire de T . Si k = 0, on a α
T
0 = |T |, et si k = 1 on a α
T
j = |T |/3, pour
j = 0, 1, 2. En notant respectivement a
T
j et a
T =
3
j=1 (a
T
j )/3, j = 1, 2, 3, les
sommets et le centre de gravit´ e du triangle T ∈ T h , on obtient les formules
suivantes.
Formule composite du point milieu (k = 0 dans 8.52)
I
c
0 (f) =
T ∈Th
|T |f(a
T ).
(8.53)
Formule composite du trap` eze (k = 1 dans 8.52)
I
c
1 (f) =
1
3
T ∈Th
|T |
3
j=1
f(a
T
j ).
(8.54)
Pour l’analyse d’erreur de quadrature E
c
k (f) = I(f) − I
c
k (f), on introduit la
d´ efinition suivante :
D´ efinition 8.1 La formule de quadrature (8.52) a un degr´ e d’exactitude ´ egal
` a n, avec n ≥ 0, si I
T
k (p) =
T pdxdy pour tout p ∈ P n (
T ), o` u P n (
T ) est d´ efini
en (7.26).