8.8 Int´ egration num´ erique multidimensionnelle
323
φ 2 (x)
φ 1 (x)
y
Ω
a
b
x
Fig. 8.5. Domaine normal par rapport `
a l’axe des x
(b−a)/M x , et n
(k)
x +1 noeuds {x
k
i , i = 0, . . ., n
(k)
x } dans chaque sous-intervalle.
On peut donc ´ ecrire dans la direction des x
I(f) I
c
nx (f) =
Mx
k=1
n
(k)
x
i=0
α
k
i F f (x
k
i ),
o` u les coefficients α
k
i sont les poids de quadrature sur chaque sous-intervalle
J k . Pour chaque noeud x
k
i , l’approximation de l’int´ egrale F f (x
k
i ) est effectu´ ee par une quadrature composite utilisant M y sous-intervalles {J m , m =
1, . . . , M y }, de longueur h
k
i = (φ 2 (x
k
i ) − φ 1 (x
k
i ))/M y et n
(m)
y
+ 1 noeuds
{y
i,k
j,m , j = 0, . . ., n
(m)
y } dans chaque sous-intervalle.
Dans le cas particulier M x = M y = M , n
(k)
x
= n
(m)
y
= 0, pour k, m =
1, . . . , M, la formule de quadrature r´ esultante est la formule de r´ eduction du
point milieu
I
c
0,0 (f) = H
M
k=1
h
k
0
M
m=1
f(x
k
0 , y
0,k
0,m ),
o` u H = (b −a)/M , x
k
0 = a+(k −1/2)H pour k = 1, . . . , M et y
0,k
0,m = φ 1 (x
k
0 )+
(m − 1/2)h
k
0 pour m = 1, . . ., M. On peut construire de mani` ere analogue la
formule de r´ eduction du trap` eze le long des directions de coordonn´ ees (dans
ce cas, n
(k)
x = n
(m)
y
= 1, pour k, m = 1, . . . , M).
On peut bien sˆ ur augmenter l’efficacit´ e de cette approche en utilisant la m´ ethode adaptative d´ ecrite ` a la Section 8.6.2 pour positionner convenablement
les noeuds de quadrature x
k
i et y
i,k
j,m en fonction des variations de f sur le
domaine Ω.
Les formules de r´ eduction sont de moins en moins pratiques quand la dimension d du domaine Ω ⊂ R
d augmente, car le coˆ ut du calcul augmente alors
consid´ erablement. En effet, si chaque int´ egrale simple n´ ecessite N ´ evaluations
de la fonction, le coˆ ut total est de N
d .
Les formules de r´ eduction du point milieu et du trap` eze pour approcher
l’int´ egrale (8.51) sont impl´ ement´ ees en MATLAB dans les Programmes 66 et
323
φ 2 (x)
φ 1 (x)
y
Ω
a
b
x
Fig. 8.5. Domaine normal par rapport `
a l’axe des x
(b−a)/M x , et n
(k)
x +1 noeuds {x
k
i , i = 0, . . ., n
(k)
x } dans chaque sous-intervalle.
On peut donc ´ ecrire dans la direction des x
I(f) I
c
nx (f) =
Mx
k=1
n
(k)
x
i=0
α
k
i F f (x
k
i ),
o` u les coefficients α
k
i sont les poids de quadrature sur chaque sous-intervalle
J k . Pour chaque noeud x
k
i , l’approximation de l’int´ egrale F f (x
k
i ) est effectu´ ee par une quadrature composite utilisant M y sous-intervalles {J m , m =
1, . . . , M y }, de longueur h
k
i = (φ 2 (x
k
i ) − φ 1 (x
k
i ))/M y et n
(m)
y
+ 1 noeuds
{y
i,k
j,m , j = 0, . . ., n
(m)
y } dans chaque sous-intervalle.
Dans le cas particulier M x = M y = M , n
(k)
x
= n
(m)
y
= 0, pour k, m =
1, . . . , M, la formule de quadrature r´ esultante est la formule de r´ eduction du
point milieu
I
c
0,0 (f) = H
M
k=1
h
k
0
M
m=1
f(x
k
0 , y
0,k
0,m ),
o` u H = (b −a)/M , x
k
0 = a+(k −1/2)H pour k = 1, . . . , M et y
0,k
0,m = φ 1 (x
k
0 )+
(m − 1/2)h
k
0 pour m = 1, . . ., M. On peut construire de mani` ere analogue la
formule de r´ eduction du trap` eze le long des directions de coordonn´ ees (dans
ce cas, n
(k)
x = n
(m)
y
= 1, pour k, m = 1, . . . , M).
On peut bien sˆ ur augmenter l’efficacit´ e de cette approche en utilisant la m´ ethode adaptative d´ ecrite ` a la Section 8.6.2 pour positionner convenablement
les noeuds de quadrature x
k
i et y
i,k
j,m en fonction des variations de f sur le
domaine Ω.
Les formules de r´ eduction sont de moins en moins pratiques quand la dimension d du domaine Ω ⊂ R
d augmente, car le coˆ ut du calcul augmente alors
consid´ erablement. En effet, si chaque int´ egrale simple n´ ecessite N ´ evaluations
de la fonction, le coˆ ut total est de N
d .
Les formules de r´ eduction du point milieu et du trap` eze pour approcher
l’int´ egrale (8.51) sont impl´ ement´ ees en MATLAB dans les Programmes 66 et