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8 Int´ egration num´ erique
M´ ethode 2. Pour un nombre r´ eel c quelconque, on pose I(f) = I 1 +I 2 comme
pour la m´ ethode 1, on introduit alors le changement de variable x = 1/t afin
de transformer I 2 en une int´ egrale sur l’intervalle born´ e [0, 1/c]
I 2 =
1/c
0
f(t)t
−2 dt =
1/c
0
g(t)dt.
(8.50)
Si g(t) n’est pas singuli` ere en t = 0, on peut traiter (8.50) `
a l’aide de n’importe
quelle formule de quadrature pr´ esent´ ee dans ce chapitre. Dans le cas contraire,
on peut recourir `
a l’une des m´ ethodes consid´ er´ ees ` a la Section 8.7.2.
M´ ethode 3. On utilise les formules interpolatoires de Gauss, o` u les noeuds
d’int´ egration sont les z´ eros des polynˆ omes orthogonaux de Laguerre et d’Hermite (voir la Section 9.5).
8.8 Int´ egration num´ erique multidimensionnelle
Soit Ω un domaine born´ e de R
2 de fronti` ere suffisamment r´ eguli` ere. Notons
x le vecteur de coordonn´ ees (x, y). Nous nous int´ eressons au probl` eme de
l’approximation de l’int´ egrale I(f) =
Ω
f(x, y)dxdy, o` u f est une fonction
continue sur Ω.
Nous pr´ esentons pour cela deux m´ ethodes aux Sections 8.8.1 et 8.8.2. La
premi` ere m´ ethode ne s’applique qu’` a certains types de domaines Ω (voir cidessous). Elle consiste ` a ramener le calcul des int´ egrales doubles ` a celui d’int´ egrales simples et ` a appliquer les quadratures unidimensionnelles le long des
deux coordonn´ ees. La seconde m´ ethode, qui s’applique quand Ω est un polygone, consiste ` a utiliser des quadratures composites de bas degr´ e sur une
d´ ecomposition de Ω en triangles.
8.8.1 La m´ ethode de r´ eduction
On se donne un domaine de la forme Ω = –(x, y) ∈ R
2 , a < x < b, φ 1 (x) < y
< φ 2 (x)} o` u φ 1 et φ 2 sont des fonctions continues telles que φ 2 (x) > φ 1 (x),
∀x ∈ [a, b]. On dit alors que Ω est normal par rapport `
a l’axe des x (voir
Figure 8.5).
La formule de r´ eduction des int´ egrales doubles donne
I(f) =
b
a
φ2(x)
φ1(x)
f(x, y)dydx =
b
a
F f (x)dx.
(8.51)
On peut approcher l’int´ egrale sur [a, b] par une formule de quadrature composite utilisant M x sous-intervalles {J k , k = 1, . . . , M x }, de longueur H =
8 Int´ egration num´ erique
M´ ethode 2. Pour un nombre r´ eel c quelconque, on pose I(f) = I 1 +I 2 comme
pour la m´ ethode 1, on introduit alors le changement de variable x = 1/t afin
de transformer I 2 en une int´ egrale sur l’intervalle born´ e [0, 1/c]
I 2 =
1/c
0
f(t)t
−2 dt =
1/c
0
g(t)dt.
(8.50)
Si g(t) n’est pas singuli` ere en t = 0, on peut traiter (8.50) `
a l’aide de n’importe
quelle formule de quadrature pr´ esent´ ee dans ce chapitre. Dans le cas contraire,
on peut recourir `
a l’une des m´ ethodes consid´ er´ ees ` a la Section 8.7.2.
M´ ethode 3. On utilise les formules interpolatoires de Gauss, o` u les noeuds
d’int´ egration sont les z´ eros des polynˆ omes orthogonaux de Laguerre et d’Hermite (voir la Section 9.5).
8.8 Int´ egration num´ erique multidimensionnelle
Soit Ω un domaine born´ e de R
2 de fronti` ere suffisamment r´ eguli` ere. Notons
x le vecteur de coordonn´ ees (x, y). Nous nous int´ eressons au probl` eme de
l’approximation de l’int´ egrale I(f) =
Ω
f(x, y)dxdy, o` u f est une fonction
continue sur Ω.
Nous pr´ esentons pour cela deux m´ ethodes aux Sections 8.8.1 et 8.8.2. La
premi` ere m´ ethode ne s’applique qu’` a certains types de domaines Ω (voir cidessous). Elle consiste ` a ramener le calcul des int´ egrales doubles ` a celui d’int´ egrales simples et ` a appliquer les quadratures unidimensionnelles le long des
deux coordonn´ ees. La seconde m´ ethode, qui s’applique quand Ω est un polygone, consiste ` a utiliser des quadratures composites de bas degr´ e sur une
d´ ecomposition de Ω en triangles.
8.8.1 La m´ ethode de r´ eduction
On se donne un domaine de la forme Ω = –(x, y) ∈ R
2 , a < x < b, φ 1 (x) < y
< φ 2 (x)} o` u φ 1 et φ 2 sont des fonctions continues telles que φ 2 (x) > φ 1 (x),
∀x ∈ [a, b]. On dit alors que Ω est normal par rapport `
a l’axe des x (voir
Figure 8.5).
La formule de r´ eduction des int´ egrales doubles donne
I(f) =
b
a
φ2(x)
φ1(x)
f(x, y)dydx =
b
a
F f (x)dx.
(8.51)
On peut approcher l’int´ egrale sur [a, b] par une formule de quadrature composite utilisant M x sous-intervalles {J k , k = 1, . . . , M x }, de longueur H =