8.7 Int´ egrales singuli` eres
321
est la valeur de l’int´ egrale singuli` ere
I(f) =
∞
a
f(x)dx = lim
t→+∞
t
a
f(x)dx.
(8.48)
On a une d´ efinition analogue si f est continue sur ]−∞, b], et pour une fonction
f : R → R, int´ egrable sur tout intervalle born´ e, on pose
∞
−∞
f(x)dx =
c
−∞
f(x)dx +
+∞
c
f(x)dx,
(8.49)
o` u c est un r´ eel quelconque et o` u les deux int´ egrales singuli` eres du second
membre de (8.49) sont convergentes. Cette d´ efinition est correcte car I(f) ne
d´ epend pas du choix de c.
La condition suivante est suffisante pour que f soit int´ egrable sur [a, +∞[ :
∃ρ > 0 tel que lim
x→+∞
x
1+ρ f(x) = 0.
Autrement dit, f est un infiniment petit d’ordre > 1 par rapport `
a 1/x quand
x → ∞. Pour approcher num´ eriquement (8.48) avec une tol´ erance δ, on consid` ere les m´ ethodes suivantes, et on renvoie au Chapitre 3 de [DR75] pour plus
de d´ etails.
M´ ethode 1. Pour calculer (8.48), on peut d´ ecomposer I(f) en I 1 + I 2 , o` u
I 1 =
c
a
f(x)dx et I 2 =
∞
c
f(x)dx.
Le point c, qui peut ˆ etre choisi arbitrairement, est pris de mani` ere ` a ce
que la contribution de I 2 soit n´ egligeable. Plus pr´ ecis´ ement, en exploitant le
comportement asymptotique de f, c est choisi de fa¸ con ` a rendre I 2 ´ egal ` a une
fraction de la tol´ erance impos´ ee, disons I 2 = δ/2.
On calculera alors I 1 avec une erreur absolue ´ egale ` a δ/2. Ceci assure que
l’erreur globale pour le calcul de I 1 + I 2 est inf´ erieure ` a δ.
Exemple 8.11 Calculons, avec une erreur δ = 10
−3 , l’int´ egrale
I(f ) =
∞
0
cos
2 (x)e
−x dx = 3/5.
Pour un c > 0 quelconque, on a I2 =
∞
c
cos
2 (x)e
−x dx ≤
∞
c
e
−x dx = e
−c ; en
posant e
−c = δ/2, on obtient c 7.6. En utilisant la formule composite du trap` eze
pour approcher I1, on obtient m ≥
Mc
3 /(6δ)
1/2 = 277, d’apr` es (8.27) avec n = 1
et M = max 0≤x≤c |f
(x)| | 1.04.
Le Programme 61 renvoie la valeur I1 0.599905, avec une erreur absolue de
6.27 · 10
−5 (la valeur exacte est I1 = 3/5 − e
−c (cos
2 (c) − (sin(2c) + 2 cos(2c))/5)
0.599842). Le r´ esultat global est I1 + I2 0.600405, avec une erreur absolue par
rapport `
a I(f ) ´ egale ` a 4.05 · 10
−4 .
•
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est la valeur de l’int´ egrale singuli` ere
I(f) =
∞
a
f(x)dx = lim
t→+∞
t
a
f(x)dx.
(8.48)
On a une d´ efinition analogue si f est continue sur ]−∞, b], et pour une fonction
f : R → R, int´ egrable sur tout intervalle born´ e, on pose
∞
−∞
f(x)dx =
c
−∞
f(x)dx +
+∞
c
f(x)dx,
(8.49)
o` u c est un r´ eel quelconque et o` u les deux int´ egrales singuli` eres du second
membre de (8.49) sont convergentes. Cette d´ efinition est correcte car I(f) ne
d´ epend pas du choix de c.
La condition suivante est suffisante pour que f soit int´ egrable sur [a, +∞[ :
∃ρ > 0 tel que lim
x→+∞
x
1+ρ f(x) = 0.
Autrement dit, f est un infiniment petit d’ordre > 1 par rapport `
a 1/x quand
x → ∞. Pour approcher num´ eriquement (8.48) avec une tol´ erance δ, on consid` ere les m´ ethodes suivantes, et on renvoie au Chapitre 3 de [DR75] pour plus
de d´ etails.
M´ ethode 1. Pour calculer (8.48), on peut d´ ecomposer I(f) en I 1 + I 2 , o` u
I 1 =
c
a
f(x)dx et I 2 =
∞
c
f(x)dx.
Le point c, qui peut ˆ etre choisi arbitrairement, est pris de mani` ere ` a ce
que la contribution de I 2 soit n´ egligeable. Plus pr´ ecis´ ement, en exploitant le
comportement asymptotique de f, c est choisi de fa¸ con ` a rendre I 2 ´ egal ` a une
fraction de la tol´ erance impos´ ee, disons I 2 = δ/2.
On calculera alors I 1 avec une erreur absolue ´ egale ` a δ/2. Ceci assure que
l’erreur globale pour le calcul de I 1 + I 2 est inf´ erieure ` a δ.
Exemple 8.11 Calculons, avec une erreur δ = 10
−3 , l’int´ egrale
I(f ) =
∞
0
cos
2 (x)e
−x dx = 3/5.
Pour un c > 0 quelconque, on a I2 =
∞
c
cos
2 (x)e
−x dx ≤
∞
c
e
−x dx = e
−c ; en
posant e
−c = δ/2, on obtient c 7.6. En utilisant la formule composite du trap` eze
pour approcher I1, on obtient m ≥
Mc
3 /(6δ)
1/2 = 277, d’apr` es (8.27) avec n = 1
et M = max 0≤x≤c |f
(x)| | 1.04.
Le Programme 61 renvoie la valeur I1 0.599905, avec une erreur absolue de
6.27 · 10
−5 (la valeur exacte est I1 = 3/5 − e
−c (cos
2 (c) − (sin(2c) + 2 cos(2c))/5)
0.599842). Le r´ esultat global est I1 + I2 0.600405, avec une erreur absolue par
rapport `
a I(f ) ´ egale ` a 4.05 · 10
−4 .
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