320
8 Int´ egration num´ erique
Pour δ = 10
−4 , en prenant ε = 10
−2 , on a besoin de 1140 sous-intervalles (uniformes), et avec ε = 10
−4 (resp. ε = 10
−6 ) le nombre de sous-intervalles est 2 · 10
5
(resp. 3.6 · 10
7 ). A titre de comparaison, en ex´ ecutant le Programme 65 (int´ egration
adaptative avec la formule de Cavalieri-Simpson) avec a = ε = 10
−10 , hmin = 10
−12
et tol = 10
−4 , on obtient une valeur approch´ ee de l’int´ egrale ´ egale `
a 1.955, au
prix de 1057 ´ evaluations de la fonction, ce qui correspond `
a 528 subdivisions non
uniformes de [0, π/2].
•
M´ ethode 2. En utilisant le d´ eveloppement de Taylor (8.42) on obtient
I(f) =
b
a
φ(x) − Φ p (x)
(x − a) µ dx +
b
a
Φ p (x)
(x − a) µ dx = I 1 + I 2 .
Le calcul exact de I 2 donne
I 2 = (b − a)
1−µ
p
k=0
(b − a)
k φ
(k) (a)
k!(k + 1 − µ)
.
(8.46)
L’int´ egrale I 1 s’´ ecrit, pour p ≥ 0
I 1 =
b
a
(x − a)
p+1−µ φ
(p+1) (ξ(x))
(p + 1)!
dx =
b
a
g(x)dx.
(8.47)
Contrairement au cas de la m´ ethode 1, la fonction `
a int´ egrer g n’explose
pas en x = a, ses p premi` eres d´ eriv´ ees ´ etant finies en x = a.
Par cons´ equent, en supposant qu’on approche I 1 avec une formule de
Newton-Cotes composite, il est possible de donner une estimation de l’erreur de quadrature, `
a condition que p ≥ n + 2, pour n ≥ 0 pair, ou p ≥ n + 1,
pour n impair.
Exemple 8.10 Consid´ erons ` a nouveau l’int´ egrale singuli` ere de Fresnel (8.45), et
supposons qu’on utilise la formule composite de Cavalieri-Simpson pour approcher
I1. Nous prenons p = 4 dans (8.46) et (8.47). La valeur de I2 est (π/2)
1/2 (2 −
(1/5)(π/2)
2 + (1/108)(π/2)
4 ) 1.9588. L’estimation d’erreur (8.26) avec n = 2
montre que 2 subdivisions de [0, π/2] suffisent pour approcher I1 avec une erreur
δ = 10
−4 , obtenant alors une valeur I1 −0.0173. La m´ ethode 2 donne 1.9415
comme approximation de (8.45).
•
8.7.3 Int´ egrales sur des intervalles non born´ es
Soit f ∈ C
0 ([a, +∞[) ; si elle existe et si elle est finie, la limite
lim
t→+∞
t
a
f(x)dx
8 Int´ egration num´ erique
Pour δ = 10
−4 , en prenant ε = 10
−2 , on a besoin de 1140 sous-intervalles (uniformes), et avec ε = 10
−4 (resp. ε = 10
−6 ) le nombre de sous-intervalles est 2 · 10
5
(resp. 3.6 · 10
7 ). A titre de comparaison, en ex´ ecutant le Programme 65 (int´ egration
adaptative avec la formule de Cavalieri-Simpson) avec a = ε = 10
−10 , hmin = 10
−12
et tol = 10
−4 , on obtient une valeur approch´ ee de l’int´ egrale ´ egale `
a 1.955, au
prix de 1057 ´ evaluations de la fonction, ce qui correspond `
a 528 subdivisions non
uniformes de [0, π/2].
•
M´ ethode 2. En utilisant le d´ eveloppement de Taylor (8.42) on obtient
I(f) =
b
a
φ(x) − Φ p (x)
(x − a) µ dx +
b
a
Φ p (x)
(x − a) µ dx = I 1 + I 2 .
Le calcul exact de I 2 donne
I 2 = (b − a)
1−µ
p
k=0
(b − a)
k φ
(k) (a)
k!(k + 1 − µ)
.
(8.46)
L’int´ egrale I 1 s’´ ecrit, pour p ≥ 0
I 1 =
b
a
(x − a)
p+1−µ φ
(p+1) (ξ(x))
(p + 1)!
dx =
b
a
g(x)dx.
(8.47)
Contrairement au cas de la m´ ethode 1, la fonction `
a int´ egrer g n’explose
pas en x = a, ses p premi` eres d´ eriv´ ees ´ etant finies en x = a.
Par cons´ equent, en supposant qu’on approche I 1 avec une formule de
Newton-Cotes composite, il est possible de donner une estimation de l’erreur de quadrature, `
a condition que p ≥ n + 2, pour n ≥ 0 pair, ou p ≥ n + 1,
pour n impair.
Exemple 8.10 Consid´ erons ` a nouveau l’int´ egrale singuli` ere de Fresnel (8.45), et
supposons qu’on utilise la formule composite de Cavalieri-Simpson pour approcher
I1. Nous prenons p = 4 dans (8.46) et (8.47). La valeur de I2 est (π/2)
1/2 (2 −
(1/5)(π/2)
2 + (1/108)(π/2)
4 ) 1.9588. L’estimation d’erreur (8.26) avec n = 2
montre que 2 subdivisions de [0, π/2] suffisent pour approcher I1 avec une erreur
δ = 10
−4 , obtenant alors une valeur I1 −0.0173. La m´ ethode 2 donne 1.9415
comme approximation de (8.45).
•
8.7.3 Int´ egrales sur des intervalles non born´ es
Soit f ∈ C
0 ([a, +∞[) ; si elle existe et si elle est finie, la limite
lim
t→+∞
t
a
f(x)dx