8.7 Int´ egrales singuli` eres
319
o` u Φ p (x) =
p
k=0 φ
(k) (a)(x − a)
k /k!. Alors
I 1 = ε
1−µ
p
k=0
ε
k φ
(k) (a)
k!(k + 1 − µ)
+
1
(p + 1)!
a+ε
a
(x − a)
p+1−µ φ
(p+1) (ξ(x))dx.
En rempla¸ cant I 1 par la somme finie, l’erreur correspondante E 1 peut ˆ etre
born´ ee ainsi
|E 1 | ≤
ε
p+2−µ
(p + 1)!(p + 2 − µ)
max
a≤x≤a+ε
|φ
(p+1) (x)|,
p≥ 0.
(8.43)
Pour un p fix´ e, le second membre de (8.43) est une fonction croissante de ε.
D’autre part, en prenant ε < 1 et en supposant que les d´ eriv´ ees successives de
φ n’augmentent pas trop vite avec p, (8.43) est d´ ecroissante quand p augmente.
Approchons ensuite I 2 par la formule composite de Newton-Cotes avec m sousintervalles et n noeuds de quadrature dans chaque sous-intervalle, n ´ etant un
entier pair. D’apr` es (8.26), et en cherchant ` a r´ epartir l’erreur δ entre I 1 et I 2 ,
on a
|E 2 | ≤ M
(n+2) (ε)
b − a − ε
(n + 2)!
|M n |
n n+3
b − a − ε
m
n+2
= δ/2,
(8.44)
o` u
M
(n+2) (ε) = max
a+ε≤x≤b
d
n+2
dx n+2
φ(x)
(x − a) µ
.
La valeur de la constante M
(n+2) (ε) croˆ ıt rapidement quand ε tend vers z´ ero ;
par cons´ equent, (8.44) peut n´ ecessiter un nombre m ε = m(ε) tr` es important
de sous-intervalles, rendant cette m´ ethode difficilement utilisable en pratique.
Exemple 8.9 Consid´ erons l’int´ egrale singuli` ere (appel´ ee int´ egrale de Fresnel)
I(f ) =
π/2
0
cos(x)
√
x
dx.
(8.45)
En d´ eveloppant la fonction en s´ erie de Taylor ` a l’origine et en utilisant le th´ eor` eme
d’int´ egration des s´ eries, on a
I(f ) =
∞
k=0
(−1)
k
(2k)!
1
(2k + 1/2)
(π/2)
2k+1/2 .
En tronquant la s´ erie au dixi` eme terme, on obtient une valeur approch´ ee de l’int´ egrale ´ egale ` a 1.9549.
En utilisant la formule composite de Cavalieri-Simpson, l’estimation a priori
(8.44) donne, quand ε tend vers z´ ero et en posant n = 2, |M2| = 4/15,
mε
0.018
δ
π
2
− ε
5
ε
−9/2
1/4
.
319
o` u Φ p (x) =
p
k=0 φ
(k) (a)(x − a)
k /k!. Alors
I 1 = ε
1−µ
p
k=0
ε
k φ
(k) (a)
k!(k + 1 − µ)
+
1
(p + 1)!
a+ε
a
(x − a)
p+1−µ φ
(p+1) (ξ(x))dx.
En rempla¸ cant I 1 par la somme finie, l’erreur correspondante E 1 peut ˆ etre
born´ ee ainsi
|E 1 | ≤
ε
p+2−µ
(p + 1)!(p + 2 − µ)
max
a≤x≤a+ε
|φ
(p+1) (x)|,
p≥ 0.
(8.43)
Pour un p fix´ e, le second membre de (8.43) est une fonction croissante de ε.
D’autre part, en prenant ε < 1 et en supposant que les d´ eriv´ ees successives de
φ n’augmentent pas trop vite avec p, (8.43) est d´ ecroissante quand p augmente.
Approchons ensuite I 2 par la formule composite de Newton-Cotes avec m sousintervalles et n noeuds de quadrature dans chaque sous-intervalle, n ´ etant un
entier pair. D’apr` es (8.26), et en cherchant ` a r´ epartir l’erreur δ entre I 1 et I 2 ,
on a
|E 2 | ≤ M
(n+2) (ε)
b − a − ε
(n + 2)!
|M n |
n n+3
b − a − ε
m
n+2
= δ/2,
(8.44)
o` u
M
(n+2) (ε) = max
a+ε≤x≤b
d
n+2
dx n+2
φ(x)
(x − a) µ
.
La valeur de la constante M
(n+2) (ε) croˆ ıt rapidement quand ε tend vers z´ ero ;
par cons´ equent, (8.44) peut n´ ecessiter un nombre m ε = m(ε) tr` es important
de sous-intervalles, rendant cette m´ ethode difficilement utilisable en pratique.
Exemple 8.9 Consid´ erons l’int´ egrale singuli` ere (appel´ ee int´ egrale de Fresnel)
I(f ) =
π/2
0
cos(x)
√
x
dx.
(8.45)
En d´ eveloppant la fonction en s´ erie de Taylor ` a l’origine et en utilisant le th´ eor` eme
d’int´ egration des s´ eries, on a
I(f ) =
∞
k=0
(−1)
k
(2k)!
1
(2k + 1/2)
(π/2)
2k+1/2 .
En tronquant la s´ erie au dixi` eme terme, on obtient une valeur approch´ ee de l’int´ egrale ´ egale ` a 1.9549.
En utilisant la formule composite de Cavalieri-Simpson, l’estimation a priori
(8.44) donne, quand ε tend vers z´ ero et en posant n = 2, |M2| = 4/15,
mε
0.018
δ
π
2
− ε
5
ε
−9/2
1/4
.