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8 Int´ egration num´ erique
8.7.1 Int´ egrales des fonctions pr´ esentant des sauts finis
Soit c un point connu dans [a, b] et soit f une fonction continue et born´ ee sur
[a, c[ et ]c, b], avec un saut fini f(c
+ ) − f(c
− ). Comme
I(f) =
b
a
f(x)dx =
c
a
f(x)dx +
b
c
f(x)dx,
(8.41)
n’importe quelle formule d’int´ egration des sections pr´ ec´ edentes peut ˆ etre utilis´ ee sur [a, c
− ] et [c
+ , b] pour fournir une approximation de I(f). On proc´ ederait
de mˆ eme si f admettait un nombre fini de sauts dans [a, b].
Quand l’emplacement du point de discontinuit´ e de f n’est pas connu a
priori, une analyse pr´ eliminaire du graphe de la fonction doit ˆ etre effectu´ ee.
Comme alternative, on peut recourir `
a un int´ egrateur adaptatif capable de
d´ etecter la pr´ esence de discontinuit´ es en rep´ erant les endroits o` u le pas d’int´ egration devient plus petit qu’une tol´ erance donn´ ee (voir Section 8.6.2).
8.7.2 Int´ egrales de fonctions tendant vers l’infini
Consid´ erons le cas o` u lim x→a + f(x) = ∞ ; on traiterait de la mˆ eme mani` ere
le cas o` u f tend vers l’infini quand x → b
− , et on se ram` enerait ` a l’une de ces
deux situations pour traiter le cas d’un point de singularit´ e c int´ erieur `
a [a, b]
grˆ ace ` a (8.41). Supposons que la fonction `
a int´ egrer est de la forme
f(x) =
φ(x)
(x − a) µ ,
0 ≤ µ < 1,
o` u φ est une fonction dont la valeur absolue est born´ ee par M . Alors
|I(f)| ≤ M lim
t→a +
b
t
1
(x − a) µ dx = M
(b − a)
1−µ
1 − µ
.
Supposons qu’on souhaite approcher I(f) avec une tol´ erance δ. On va d´ ecrire
pour cela deux m´ ethodes (pour plus de d´ etails voir aussi [IK66], Section 7.6,
et [DR75], Section 2.12 et Appendice 1).
M´ ethode 1. Pour tout ε tel que 0 < ε < (b − a), on d´ ecompose l’int´ egrale
singuli` ere en I(f) = I 1 + I 2 , o` u
I 1 =
a+ε
a
φ(x)
(x − a) µ dx,
I 2 =
b
a+ε
φ(x)
(x − a) µ dx.
Le calcul de I 2 ne pr´ esente pas de difficult´ e. Apr` es avoir remplac´ e φ par son
d´ eveloppement de Taylor `
a l’ordre p en x = a, on obtient
φ(x) = Φ p (x) +
(x − a)
p+1
(p + 1)!
φ
(p+1) (ξ(x)),
p≥ 0,
(8.42)
8 Int´ egration num´ erique
8.7.1 Int´ egrales des fonctions pr´ esentant des sauts finis
Soit c un point connu dans [a, b] et soit f une fonction continue et born´ ee sur
[a, c[ et ]c, b], avec un saut fini f(c
+ ) − f(c
− ). Comme
I(f) =
b
a
f(x)dx =
c
a
f(x)dx +
b
c
f(x)dx,
(8.41)
n’importe quelle formule d’int´ egration des sections pr´ ec´ edentes peut ˆ etre utilis´ ee sur [a, c
− ] et [c
+ , b] pour fournir une approximation de I(f). On proc´ ederait
de mˆ eme si f admettait un nombre fini de sauts dans [a, b].
Quand l’emplacement du point de discontinuit´ e de f n’est pas connu a
priori, une analyse pr´ eliminaire du graphe de la fonction doit ˆ etre effectu´ ee.
Comme alternative, on peut recourir `
a un int´ egrateur adaptatif capable de
d´ etecter la pr´ esence de discontinuit´ es en rep´ erant les endroits o` u le pas d’int´ egration devient plus petit qu’une tol´ erance donn´ ee (voir Section 8.6.2).
8.7.2 Int´ egrales de fonctions tendant vers l’infini
Consid´ erons le cas o` u lim x→a + f(x) = ∞ ; on traiterait de la mˆ eme mani` ere
le cas o` u f tend vers l’infini quand x → b
− , et on se ram` enerait ` a l’une de ces
deux situations pour traiter le cas d’un point de singularit´ e c int´ erieur `
a [a, b]
grˆ ace ` a (8.41). Supposons que la fonction `
a int´ egrer est de la forme
f(x) =
φ(x)
(x − a) µ ,
0 ≤ µ < 1,
o` u φ est une fonction dont la valeur absolue est born´ ee par M . Alors
|I(f)| ≤ M lim
t→a +
b
t
1
(x − a) µ dx = M
(b − a)
1−µ
1 − µ
.
Supposons qu’on souhaite approcher I(f) avec une tol´ erance δ. On va d´ ecrire
pour cela deux m´ ethodes (pour plus de d´ etails voir aussi [IK66], Section 7.6,
et [DR75], Section 2.12 et Appendice 1).
M´ ethode 1. Pour tout ε tel que 0 < ε < (b − a), on d´ ecompose l’int´ egrale
singuli` ere en I(f) = I 1 + I 2 , o` u
I 1 =
a+ε
a
φ(x)
(x − a) µ dx,
I 2 =
b
a+ε
φ(x)
(x − a) µ dx.
Le calcul de I 2 ne pr´ esente pas de difficult´ e. Apr` es avoir remplac´ e φ par son
d´ eveloppement de Taylor `
a l’ordre p en x = a, on obtient
φ(x) = Φ p (x) +
(x − a)
p+1
(p + 1)!
φ
(p+1) (ξ(x)),
p≥ 0,
(8.42)