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8 Int´ egration num´ erique
qui peuvent ˆ etre repr´ esent´ ees par le diagramme ci-dessous
A 0,0
A 1,0 → A 1,1
A 2,0 → A 2,1 → A 2,2
A 3,0 → A 3,1 → A 3,2 → A 3,3
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
A n,0 → A n,1 → A n,2 → A n,3 . . . → A n,n
o` u les fl` eches indiquent la fa¸ con dont les “anciens” termes contribuent `
a la
construction des “nouveaux”.
On peut montrer le r´ esultat suivant (voir p. ex. [Com95], Proposition 4.1) :
Propri´ et´ e 8.2 Pour n ≥ 0 et δ ∈]0, 1[
A m,n = α 0 + O((δ
m h)
n+1 ),
m= 0, . . . , n.
(8.30)
En particulier, pour les termes de la premi` ere colonne (n = 0), la vitesse de
convergence vers α 0 est en O(δ
m h), tandis que pour ceux de la derni` ere elle
est en O((δ
m h)
n+1 ), c’est-` a-dire n fois plus ´ elev´ ee.
Exemple 8.5 On a utilis´ e l’extrapolation de Richardson pour approcher en x = 0 la
d´ eriv´ ee de la fonction f (x) = xe
−x cos(2x), introduite `
a l’Exemple 8.1. On a ex´ ecut´ e
pour cela l’algorithme (8.29) avec A(h) = [f (x + h) − f (x)] /h, δ = 0.5, n = 5 et
h = 0.1. La Table 8.8 montre la suite des erreurs absolues Em,n = |α0 − Am,n|. On
constate que l’erreur d´ ecroˆ ıt comme le pr´ evoit (8.30).
•
Table 8.8. Erreurs dans l’extrapolation de Richardson pour l’´ evaluation approch´ ee
de f
(0), avec f (x) = xe
−x cos(2x)
E m,0
E m,1
E m,2
E m,3
E m,4
E m,5
0.113
–
–
–
–
–
5.3 · 10
−2
6.1 · 10
−3
–
–
–
–
2.6 · 10
−2
1.7 · 10
−3
2.2 · 10
−4
–
–
–
1.3 · 10
−2
4.5 · 10
−4
2.8 · 10
−5
5.5 · 10
−7
–
–
6.3 · 10
−3
1.1 · 10
−4
3.5 · 10
−6
3.1 · 10
−8
3.0 · 10
−9
–
3.1 · 10
−3
2.9 · 10
−5
4.5 · 10
−7
1.9 · 10
−9
9.9 · 10
−11
4.9 · 10
−12