8.5 Extrapolation de Richardson
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8.5.1 Int´ egration de Romberg
La m´ ethode d’int´ egration de Romberg est une application de l’extrapolation
de Richardson `
a la formule composite du trap` eze. On a besoin du r´ esultat
suivant, connu sous le nom de d´ eveloppement d’Euler-MacLaurin (pour la
preuve voir p. ex. [Ral65], p. 131-133, et [DR75], p. 106-111) :
Propri´ et´ e 8.3 Soit k ≥ 0 et f ∈ C
2k+2 ([a, b]). Approchons α 0 =
b
a
f(x)dx
par la formule composite du trap` eze (8.14) : en posant h m = (b − a)/m pour
m ≥ 1, on obtient
I 1,m (f) = α 0 +
k
i=1
B 2i
(2i)!
h
2i
m
f
(2i−1) (b) − f
(2i−1) (a)
+
B 2k+2
(2k + 2)!
h
2k+2
m
(b − a)f
(2k+2) (η),
(8.31)
o` u η ∈]a, b[ et o` u B 2j = (−1)
j−1
+∞
n=1
2/(2nπ)
2j
(2j)!, pour j ≥ 1, sont les
nombres de Bernoulli.
L’´ equation (8.31) est un cas particulier de (8.28) o` u h = h
2
m et A(h) =
I 1,m (f) ; remarquer que seules les puissances paires du param` etre h apparaissent dans le d´ eveloppement.
L’algorithme d’extrapolation de Richardson (8.29) appliqu´ e ` a (8.31) donne
A m,0 = A(δ
m h),
m = 0, . . ., n,
A m,q+1 =
A m,q − δ
2(q+1)
A m−1,q
1 − δ 2(q+1)
, q = 0, . . . , n − 1,
m = q + 1, . . ., n.
(8.32)
En posant h = b − a et δ = 1/2 dans (8.32) et en notant T (h s ) = I 1,s (f) la
formule composite du trap` eze (8.14) sur s = 2
m sous-intervalles de longueur
h s = (b − a)/2
m , pour m ≥ 0, l’algorithme (8.32) devient
A m,0 = T ((b − a)/2
m ),
m= 0, . . . , n,
A m,q+1 =
4
q+1
A m,q − A m−1,q
4 q+1 − 1
, q = 0, . . ., n − 1,
m = q + 1, . . ., n.
On l’appelle algorithme d’int´ egration num´ erique de Romberg. En utilisant
(8.30), on obtient le r´ esultat de convergence suivant
A m,n =
b
a
f(x)dx + O(h
2(n+1)
s
), h s =
b − a
2 m , n ≥ 0.