8.5 Extrapolation de Richardson
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o` u, pour tout δ > 0,
Ω(f; δ) = sup{|f(x) − f(y)|, x, y ∈ [a, b], x = y, |x − y| ≤ δ}
est le module de continuit´ e de la fonction f.
8.5 Extrapolation de Richardson
La m´ ethode d’extrapolation de Richardson est un proc´ ed´ e qui combine plusieurs approximations d’une certaine quantit´ e α 0 de mani` ere ` a en obtenir une
meilleure approximation. Plus pr´ ecis´ ement, supposons qu’on dispose d’une
m´ ethode pour approcher α 0 par une quantit´ e A(h) pour toute valeur de h = 0.
Supposons de plus que, pour un certain k ≥ 0, A(h) puisse s’´ ecrire
A(h) = α 0 + α 1 h + . . . + α k h
k + R k+1 (h)
(8.28)
avec |R k+1 (h)| ≤ C k+1 h
k+1 , o` u les constantes C k+1 et les coefficients α i , pour
i = 0, . . ., k, sont ind´ ependants de h. On a donc α 0 = lim h→0 A(h).
En ´ ecrivant (8.28) avec δh au lieu de h, pour 0 < δ < 1 (typiquement,
δ = 1/2), on a
A(δh) = α 0 + α 1 (δh) + . . . + α k (δh)
k + R k+1 (δh).
On retranche (8.28) multipli´ e par δ de cette expression pour obtenir
B(h) =
A(δh) − δA(h)
1 − δ
= α 0 +
α 2 h
2 + . . . +
α k h
k +
R k+1 (h),
o` u on a pos´ e, pour k ≥ 2,
α i = α i (δ
i
− δ)/(1 − δ), avec i = 2, . . ., k et
R k+1 (h) = [R k+1 (δh) − δR k+1 (h)] /(1 − δ).
Remarquer que
α i = 0 si et seulement si α i = 0. En particulier, si α 1 = 0,
alors A(h) est une approximation au premier ordre de α 0 , tandis que B(h) est
au moins pr´ ecis au second ordre. Plus g´ en´ eralement, si A(h) est une approximation de α 0 d’ordre p, alors la quantit´ e B(h) = [A(δh) − δ
p
A(h)] /(1 − δ
p )
approche α 0 ` a l’ordre p + 1 (au moins).
On construit alors par r´ ecurrence l’algorithme d’extrapolation de Richardson :
pour n ≥ 0, h > 0 et δ ∈]0, 1[, on d´ efinit les suites
A m,0 = A(δ
m h),
m = 0, . . ., n,
A m,q+1 =
A m,q − δ
q+1
A m−1,q
1 − δ q+1
, q = 0, . . . , n − 1,
m = q + 1, . . . , n,
(8.29)