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8 Int´ egration num´ erique
d’o` u on d´ eduit imm´ ediatement (8.26) en appliquant le Th´ eor` eme 8.1 avec u(x) =
f
(n+2) (x) et δj = 1 pour j = 0, . . . , m − 1,
On peut suivre la mˆ eme d´ emarche pour prouver (8.27).
3
On constate que, pour n fix´ e, E n,m (f) → 0 quand m → ∞ (i.e. quand H → 0).
Ceci assure la convergence de la valeur num´ erique approch´ ee de l’int´ egrale
vers sa valeur exacte I(f). On constate aussi que le degr´ e d’exactitude des
formules composites co¨ ıncide avec celui des formules simples alors que leur
ordre infinit´ esimal (par rapport `
a H) est r´ eduit de 1 par rapport `
a l’ordre
infinit´ esimal (en h) des formules simples.
Dans les calculs pratiques, il est commode d’effectuer une interpolation locale
de bas degr´ e (typiquement n ≤ 2, comme ` a la Section 8.2). Ceci conduit `
a des
formules de quadrature composites avec coefficients positifs, ce qui minimise
les erreurs d’arrondi.
Exemple 8.4 Pour l’int´ egrale (8.24) consid´ er´ ee ` a l’Exemple 8.3, on montre dans
la Table 8.7 le comportement de l’erreur absolue en fonction du nombre de sousintervalles m, dans le cas des formules composites du point milieu, du trap` eze et
de Cavalieri-Simpson. On observe clairement la convergence de In,m(f ) vers I(f )
quand m augmente. De plus, on constate que E0,m(f ) E1,m(f )/2 pour m ≥ 32
(voir Exercice 1).
•
Table 8.7. Erreur absolue dans le calcul de (8.24) par quadratures composites
m
|E 0,m |
|E 1,m |
| E 2,m |
1
7.253
2.362
4.04
2
1.367
2.445
9.65 · 10
−2
8
3.90 · 10
−2
3.77 · 10
−2
1.35 · 10
−2
32 1.20 · 10
−4
2.40 · 10
−4
4.55 · 10
−8
128 7.52 · 10
−6
1.50 · 10
−5
1.63 · 10
−10
512 4.70 · 10
−7
9.40 · 10
−7
6.36 · 10
−13
La convergence de I n,m (f) vers I(f) peut ˆ etre ´ etablie sous des hypoth` eses
de r´ egularit´ e sur f moins s´ ev` eres que celles requises par le Th´ eor` eme 8.3.
On a en effet le r´ esultat suivant (dont on trouvera la preuve dans [IK66], p.
341-343) :
Propri´ et´ e 8.1 Si f ∈ C
0 ([a, b]) et si les poids α
(j)
k dans (8.25) sont positifs,
alors
lim
m→∞
I n,m (f) =
b
a
f(x)dx
∀n ≥ 0.
De plus
b
a
f(x)dx − I n,m (f)
≤ 2(b − a)Ω(f; H),
8 Int´ egration num´ erique
d’o` u on d´ eduit imm´ ediatement (8.26) en appliquant le Th´ eor` eme 8.1 avec u(x) =
f
(n+2) (x) et δj = 1 pour j = 0, . . . , m − 1,
On peut suivre la mˆ eme d´ emarche pour prouver (8.27).
3
On constate que, pour n fix´ e, E n,m (f) → 0 quand m → ∞ (i.e. quand H → 0).
Ceci assure la convergence de la valeur num´ erique approch´ ee de l’int´ egrale
vers sa valeur exacte I(f). On constate aussi que le degr´ e d’exactitude des
formules composites co¨ ıncide avec celui des formules simples alors que leur
ordre infinit´ esimal (par rapport `
a H) est r´ eduit de 1 par rapport `
a l’ordre
infinit´ esimal (en h) des formules simples.
Dans les calculs pratiques, il est commode d’effectuer une interpolation locale
de bas degr´ e (typiquement n ≤ 2, comme ` a la Section 8.2). Ceci conduit `
a des
formules de quadrature composites avec coefficients positifs, ce qui minimise
les erreurs d’arrondi.
Exemple 8.4 Pour l’int´ egrale (8.24) consid´ er´ ee ` a l’Exemple 8.3, on montre dans
la Table 8.7 le comportement de l’erreur absolue en fonction du nombre de sousintervalles m, dans le cas des formules composites du point milieu, du trap` eze et
de Cavalieri-Simpson. On observe clairement la convergence de In,m(f ) vers I(f )
quand m augmente. De plus, on constate que E0,m(f ) E1,m(f )/2 pour m ≥ 32
(voir Exercice 1).
•
Table 8.7. Erreur absolue dans le calcul de (8.24) par quadratures composites
m
|E 0,m |
|E 1,m |
| E 2,m |
1
7.253
2.362
4.04
2
1.367
2.445
9.65 · 10
−2
8
3.90 · 10
−2
3.77 · 10
−2
1.35 · 10
−2
32 1.20 · 10
−4
2.40 · 10
−4
4.55 · 10
−8
128 7.52 · 10
−6
1.50 · 10
−5
1.63 · 10
−10
512 4.70 · 10
−7
9.40 · 10
−7
6.36 · 10
−13
La convergence de I n,m (f) vers I(f) peut ˆ etre ´ etablie sous des hypoth` eses
de r´ egularit´ e sur f moins s´ ev` eres que celles requises par le Th´ eor` eme 8.3.
On a en effet le r´ esultat suivant (dont on trouvera la preuve dans [IK66], p.
341-343) :
Propri´ et´ e 8.1 Si f ∈ C
0 ([a, b]) et si les poids α
(j)
k dans (8.25) sont positifs,
alors
lim
m→∞
I n,m (f) =
b
a
f(x)dx
∀n ≥ 0.
De plus
b
a
f(x)dx − I n,m (f)
≤ 2(b − a)Ω(f; H),