8.4 Formules composites de Newton-Cotes
305
Puisque
I(f) =
b
a
f(x)dx =
m−1
j=0
Tj
f(x)dx,
une formule de quadrature interpolatoire composite est obtenue en rempla¸ cant
I(f) par
I n,m (f) =
m−1
j=0
n
k=0
α
(j)
k f(x
(j)
k ).
(8.25)
Par cons´ equent, l’erreur de quadrature est E n,m (f) = I(f) − I n,m (f). Sur
chaque sous-intervalle T j , on peut par exemple utiliser une formule de NewtonCotes avec n + 1 noeuds ´ equir´ epartis : dans ce cas, les poids α
(j)
k = hw k sont
encore ind´ ependants de T j .
En utilisant les mˆ emes notations qu’au Th´ eor` eme 8.2, on a le r´ esultat de
convergence suivant pour les formules composites :
Th´ eor` eme 8.3 Pour une formule composite de Newton-Cotes, avec n pair,
si f ∈ C
n+2 ([a, b]), on a
E n,m (f) =
b − a
(n + 2)!
M n
γ
n+3
n
H
n+2 f
(n+2) (ξ)
(8.26)
avec ξ ∈]a, b[. L’ordre infinit´ esimal en H de l’erreur de quadrature est donc
´ egal `
a n + 2 et le degr´ e d’exactitude de la formule est n + 1.
Pour une formule composite de Newton-Cotes, avec n impair, si f ∈
C
n+1 ([a, b]), on a
E n,m (f) =
b − a
(n + 1)!
K n
γ
n+2
n
H
n+1 f
(n+1) (η)
(8.27)
avec η ∈]a, b[. L’ordre infinit´ esimal en H de l’erreur de quadrature est donc
´ egal `
a n + 1 et le degr´ e d’exactitude de la formule est n. Dans (8.26) et (8.27),
γ n = n+2 quand la formule est ouverte et γ n = n quand la formule est ferm´ ee.
D´ emonstration. Nous ne consid´ erons que le cas o` u n est pair. En utilisant (8.19),
et en remarquant que Mn ne d´ epend pas de l’intervalle d’int´ egration, on a
En,m(f ) =
m−1
j=0
I(f )|T j − In(f )|T j
=
Mn
(n + 2)!
m−1
j=0
h
n+3
j
f
(n+2) (ξj),
o` u, pour j = 0, . . . , m − 1, hj = |Tj|/(n + 2) = (b − a)/(m(n + 2)) et o` u ξj est un
point de Tj . Comme (b − a)/m = H, on obtient
En,m(f ) =
Mn
(n + 2)!
b − a
m(n + 2) n+3 H
n+2
m−1
j=0
f
(n+2) (ξj),