302
8 Int´ egration num´ erique
o` u ξ appartient `
a ]a, b[. En ´ echangeant l’ordre d’int´ egration, en posant s = x0 + τh,
pour 0 ≤ τ ≤ n, et en rappelant que a = x0, b = xn, on a
b
a
W (x)dx =
b
a
b
s
(s − x0) . . . (s − xn)dxds
=
xn
x 0
(s − x0) . . . (s − xn−1)(s − xn)(xn − s)ds
= −h
n+3
n
0
τ (τ − 1) . . . (τ − n + 1)(τ − n)
2 dτ.
Enfin, on d´ eduit (8.19) en posant t = n − τ et en combinant ces r´ esultats avec (8.23).
3
Les relations (8.19) et (8.20) sont des estimations a priori de l’erreur de quadrature (voir Chapitre 2, Section 2.3). Nous examinerons `
a la Section 8.6 leur
utilisation dans la construction d’estimations a posteriori de l’erreur dans le
cadre des algorithmes adaptatifs.
Pour les formules ferm´ ees de Newton-Cotes, nous donnons dans la Table 8.3,
pour 1 ≤ n ≤ 6, le degr´ e d’exactitude (not´ e dor´ enavant r n ) et la valeur absolue de la constante M n = M n /(n + 2)! (si n est pair) ou K n = K n /(n + 1)!
(si n est impair).
Table 8.3. Degr´ e d’exactitude et constantes d’erreur pour les formules ferm´ ees de
Newton-Cotes
n r n M n K n n r n M n K n n r n M n
K n
1 1
1
12
3 3
3
80
5 5
275
12096
2 3
1
90
4 5
8
945
6 7
9
1400
Exemple 8.2 Le but de cet exemple est de v´ erifier l’importance de l’hypoth` ese
de r´ egularit´ e sur f pour les estimations d’erreur (8.19) et (8.20). Consid´ erons les
formules ferm´ ees de Newton-Cotes, avec 1 ≤ n ≤ 6, pour approcher l’int´ egrale
1
0
x
5/2 dx = 2/7 0.2857. Comme f est seulement de classe C
2 ([0, 1]), on ne s’attend pas ` a une am´ elioration significative de la pr´ ecision quand n augmente. Ceci
est en effet confirm´ e par la Table 8.4 o` u on a not´ e les r´ esultats obtenus avec le
Programme 63.
Pour n = 1, . . . , 6, on a not´ e E
c
n (f ) le module de l’erreur absolue, q
c
n l’ordre
infinit´ esimal calcul´ e et q
s
n la valeur th´ eorique correspondante pr´ edite par (8.19) et
(8.20) sous l’hypoth` ese de r´ egularit´ e optimale pour f . Il apparaˆ ıt clairement que q
c
n
est plus petit que la valeur th´ eorique pr´ evue q
s
n .
•
8 Int´ egration num´ erique
o` u ξ appartient `
a ]a, b[. En ´ echangeant l’ordre d’int´ egration, en posant s = x0 + τh,
pour 0 ≤ τ ≤ n, et en rappelant que a = x0, b = xn, on a
b
a
W (x)dx =
b
a
b
s
(s − x0) . . . (s − xn)dxds
=
xn
x 0
(s − x0) . . . (s − xn−1)(s − xn)(xn − s)ds
= −h
n+3
n
0
τ (τ − 1) . . . (τ − n + 1)(τ − n)
2 dτ.
Enfin, on d´ eduit (8.19) en posant t = n − τ et en combinant ces r´ esultats avec (8.23).
3
Les relations (8.19) et (8.20) sont des estimations a priori de l’erreur de quadrature (voir Chapitre 2, Section 2.3). Nous examinerons `
a la Section 8.6 leur
utilisation dans la construction d’estimations a posteriori de l’erreur dans le
cadre des algorithmes adaptatifs.
Pour les formules ferm´ ees de Newton-Cotes, nous donnons dans la Table 8.3,
pour 1 ≤ n ≤ 6, le degr´ e d’exactitude (not´ e dor´ enavant r n ) et la valeur absolue de la constante M n = M n /(n + 2)! (si n est pair) ou K n = K n /(n + 1)!
(si n est impair).
Table 8.3. Degr´ e d’exactitude et constantes d’erreur pour les formules ferm´ ees de
Newton-Cotes
n r n M n K n n r n M n K n n r n M n
K n
1 1
1
12
3 3
3
80
5 5
275
12096
2 3
1
90
4 5
8
945
6 7
9
1400
Exemple 8.2 Le but de cet exemple est de v´ erifier l’importance de l’hypoth` ese
de r´ egularit´ e sur f pour les estimations d’erreur (8.19) et (8.20). Consid´ erons les
formules ferm´ ees de Newton-Cotes, avec 1 ≤ n ≤ 6, pour approcher l’int´ egrale
1
0
x
5/2 dx = 2/7 0.2857. Comme f est seulement de classe C
2 ([0, 1]), on ne s’attend pas ` a une am´ elioration significative de la pr´ ecision quand n augmente. Ceci
est en effet confirm´ e par la Table 8.4 o` u on a not´ e les r´ esultats obtenus avec le
Programme 63.
Pour n = 1, . . . , 6, on a not´ e E
c
n (f ) le module de l’erreur absolue, q
c
n l’ordre
infinit´ esimal calcul´ e et q
s
n la valeur th´ eorique correspondante pr´ edite par (8.19) et
(8.20) sous l’hypoth` ese de r´ egularit´ e optimale pour f . Il apparaˆ ıt clairement que q
c
n
est plus petit que la valeur th´ eorique pr´ evue q
s
n .
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