8.3 Les formules de Newton-Cotes
303
Table 8.4. Erreur dans l’approximation de
1
0
x
5/2 dx
n E
c
n (f)
q
c
n
q
s
n
n E
c
n (f)
q
c
n
q
s
n
1 0.2143
3
3 4 5.009 · 10
−5
4.7 7
2 1.196 · 10
−3
3.2 5 5 3.189 · 10
−5
2.6 7
3 5.753 · 10
−4
3.8 5 6 7.857 · 10
−6
3.7 9
Exemple 8.3 Une br` eve analyse des estimations d’erreur (8.19) et (8.20) pourrait
laisser penser que seul le manque de r´ egularit´ e de la fonction peut expliquer une
mauvaise convergence des formules de Newton-Cotes. Il est alors un peu surprenant
de voir les r´ esultats de la Table 8.5 concernant l’approximation de l’int´ egrale
I(f ) =
5
−5
1
1 + x 2 dx = 2 arctan 5 2.747,
(8.24)
o` u f (x) = 1/(1 + x
2 ) est la fonction de Runge (voir Section 7.1.2) qui est de classe
C
∞ (R). Les r´ esultats montrent en effet clairement que l’erreur demeure quasiment
inchang´ ee quand n augmente. Ceci est dˆ u au fait que les singularit´ es sur l’axe imaginaire peuvent aussi affecter les propri´ et´ es de convergence d’une formule de quadrature, comme on l’avait d´ ej` a not´ e ` a la Section 7.1.1. C’est effectivement le cas avec la
fonction consid´ er´ ee qui poss` ede deux singularit´ es en ±
√
−1 (voir [DR75], p. 64-66).
•
Table 8.5. Erreur relative En(f ) = [I(f )−In(f )]/In(f ) dans l’´ evaluation approch´ ee
de (8.24) utilisant les formules de Newton-Cotes
n E n (f) n E n (f) n E n (f)
1 0.8601 3 0.2422 5 0.1599
2 -1.474 4 0.1357 6 -0.4091
Pour augmenter la pr´ ecision d’une m´ ethode de quadrature interpolatoire,
il est parfaitement inutile d’augmenter la valeur de n. Ceci aurait en effet
les mˆ emes cons´ equences n´ egatives que pour l’interpolation de Lagrange avec
noeuds ´ equir´ epartis. Par exemple, les poids de la formule ferm´ ee de NewtonCotes pour n = 8 n’ont pas tous le mˆ eme signe (voir la Table 8.6 et noter
que w i = w n−i pour i = 0, . . . , n − 1), ce qui peut entraˆ ıner l’apparition
d’instabilit´ es num´ eriques dues aux erreurs d’arrondi (voir Chapitre 2), et rend
cette formule inutile dans la pratique. On retrouve ce ph´ enom` ene dans toutes
les formules de Newton-Cotes utilisant plus de 8 noeuds. Comme alternative,
Table 8.6. Poids de la formule ferm´ ee de Newton-Cotes `
a 9 noeuds
n
w 0
w 1
w 2
w 3
w 4
r n
M n
8
3956
14175
23552
14175
−
3712
14175
41984
14175
−
18160
14175
9
2368
467775
303
Table 8.4. Erreur dans l’approximation de
1
0
x
5/2 dx
n E
c
n (f)
q
c
n
q
s
n
n E
c
n (f)
q
c
n
q
s
n
1 0.2143
3
3 4 5.009 · 10
−5
4.7 7
2 1.196 · 10
−3
3.2 5 5 3.189 · 10
−5
2.6 7
3 5.753 · 10
−4
3.8 5 6 7.857 · 10
−6
3.7 9
Exemple 8.3 Une br` eve analyse des estimations d’erreur (8.19) et (8.20) pourrait
laisser penser que seul le manque de r´ egularit´ e de la fonction peut expliquer une
mauvaise convergence des formules de Newton-Cotes. Il est alors un peu surprenant
de voir les r´ esultats de la Table 8.5 concernant l’approximation de l’int´ egrale
I(f ) =
5
−5
1
1 + x 2 dx = 2 arctan 5 2.747,
(8.24)
o` u f (x) = 1/(1 + x
2 ) est la fonction de Runge (voir Section 7.1.2) qui est de classe
C
∞ (R). Les r´ esultats montrent en effet clairement que l’erreur demeure quasiment
inchang´ ee quand n augmente. Ceci est dˆ u au fait que les singularit´ es sur l’axe imaginaire peuvent aussi affecter les propri´ et´ es de convergence d’une formule de quadrature, comme on l’avait d´ ej` a not´ e ` a la Section 7.1.1. C’est effectivement le cas avec la
fonction consid´ er´ ee qui poss` ede deux singularit´ es en ±
√
−1 (voir [DR75], p. 64-66).
•
Table 8.5. Erreur relative En(f ) = [I(f )−In(f )]/In(f ) dans l’´ evaluation approch´ ee
de (8.24) utilisant les formules de Newton-Cotes
n E n (f) n E n (f) n E n (f)
1 0.8601 3 0.2422 5 0.1599
2 -1.474 4 0.1357 6 -0.4091
Pour augmenter la pr´ ecision d’une m´ ethode de quadrature interpolatoire,
il est parfaitement inutile d’augmenter la valeur de n. Ceci aurait en effet
les mˆ emes cons´ equences n´ egatives que pour l’interpolation de Lagrange avec
noeuds ´ equir´ epartis. Par exemple, les poids de la formule ferm´ ee de NewtonCotes pour n = 8 n’ont pas tous le mˆ eme signe (voir la Table 8.6 et noter
que w i = w n−i pour i = 0, . . . , n − 1), ce qui peut entraˆ ıner l’apparition
d’instabilit´ es num´ eriques dues aux erreurs d’arrondi (voir Chapitre 2), et rend
cette formule inutile dans la pratique. On retrouve ce ph´ enom` ene dans toutes
les formules de Newton-Cotes utilisant plus de 8 noeuds. Comme alternative,
Table 8.6. Poids de la formule ferm´ ee de Newton-Cotes `
a 9 noeuds
n
w 0
w 1
w 2
w 3
w 4
r n
M n
8
3956
14175
23552
14175
−
3712
14175
41984
14175
−
18160
14175
9
2368
467775