8.3 Les formules de Newton-Cotes
301
o` u η ∈]a, b[ et
K n =
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
n
0
π n+1 (t)dt < 0 pour les formules ferm´ ees,
n+1
−1
π n+1 (t)dt > 0 pour les formules ouvertes.
Le degr´ e d’exactitude est donc ´ egal `
a n et l’ordre infinit´ esimal est n + 2.
D´ emonstration. Nous donnons une preuve dans le cas particulier des formules
ferm´ ees pour n pair, et nous renvoyons ` a [IK66], p. 308-314, pour une d´ emonstration
compl` ete du th´ eor` eme.
D’apr` es (7.20), on a
En(f ) = I(f ) − In(f ) =
b
a
f [x0, . . . , xn, x]ωn+1(x)dx.
(8.21)
On pose W (x) =
x
a
ωn+1(t)dt. Il est clair que W (a) = 0 ; de plus, ωn+1(t) ´ etant
une fonction impaire par rapport au point milieu (a + b)/2, on a aussi W (b) = 0. En
int´ egrant (8.21) par parties, on obtient
En(f ) =
b
a
f [x0, . . . , xn, x]W
(x)dx = −
b
a
d
dx
f [x0, . . . , xn, x]W (x)dx
= −
b
a
f
(n+2) (ξ(x))
(n + 2)!
W (x)dx.
Pour ´ etablir la formule ci-dessus, nous avons utilis´ e l’identit´ e suivante (voir Exercice
4)
d
dx
f [x0, . . . , xn, x] = f [x0, . . . , xn, x, x].
(8.22)
Comme W (x) > 0 pour a < x < b (voir [IK66], p. 309), on obtient en utilisant le
th´ eor` eme de la moyenne
En(f ) = −
f
(n+2) (ξ)
(n + 2)!
b
a
W (x)dx = −
f
(n+2) (ξ)
(n + 2)!
b
a
x
a
wn+1(t)dtdx,
(8.23)