300
8 Int´ egration num´ erique
les polynˆ omes ϕ i et ϕ n−i , pour i = 0, . . . , n − 1, ont par sym´ etrie la mˆ eme
int´ egrale. Les poids correspondants w i et w n−i sont donc ´ egaux pour i =
0, . . . , n − 1. Dans le cas des formules ouvertes, les poids w i et w n−i sont
´ egaux pour i = 0, . . ., n. Pour cette raison, on ne montre dans la Table 8.2
que la premi` ere moiti´ e des poids.
Remarquer la pr´ esence de poids n´ egatifs dans les formules ouvertes pour n ≥ 2.
Ceci peut ˆ etre une source d’instabilit´ es num´ eriques, dues en particulier aux
erreurs d’arrondi.
Table 8.2. Poids des formules de Newton-Cotes ferm´ ees (` a gauche) et ouvertes (` a
droite)
n
1 2 3
4
5
6
w 0
1
2
1
3
3
8
14
45
95
288
41
140
w 1 0
4
3
9
8
64
45
375
288
216
140
w 2 0 0 0
24
45
250
288
27
140
w 3 0 0 0
0
0
272
140
n 0 1
2
3
4
5
w 0 2
3
2
8
3
55
24
66
20
4277
1440
w 1 0 0 −
4
3
5
24
−
84
20
−
3171
1440
w 2 0 0
0
0
156
20
3934
1440
Par d´ efinition l’ordre infinit´ esimal (par rapport au pas d’int´ egration h)
d’une formule de quadrature est le plus grand entier p tel que |I(f) − I n (f)| =
O(h
p ). On a alors le r´ esultat suivant :
Th´ eor` eme 8.2 Pour une formule de Newton-Cotes associ´ ee `
a une valeur
paire de n, si f ∈ C
n+2 ([a, b]) l’erreur est donn´ ee par l’expression suivante :
E n (f) =
M n
(n + 2)!
h
n+3 f
(n+2) (ξ),
(8.19)
o` u ξ ∈]a, b[ et
M n =
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
n
0
t π n+1 (t)dt < 0 pour les formules ferm´ ees,
n+1
−1
t π n+1 (t)dt > 0 pour les formules ouvertes,
o` u on a pos´ e π n+1 (t) =
n
i=0 (t − i). D’apr` es (8.19), le degr´ e d’exactitude est
´ egal `
a n + 1 et l’ordre infinit´ esimal est n + 3.
De mˆ eme, pour les valeurs impaires de n, si f ∈ C
n+1 ([a, b]), l’erreur est
donn´ ee par
E n (f) =
K n
(n + 1)!
h
n+2 f
(n+1) (η),
(8.20)
8 Int´ egration num´ erique
les polynˆ omes ϕ i et ϕ n−i , pour i = 0, . . . , n − 1, ont par sym´ etrie la mˆ eme
int´ egrale. Les poids correspondants w i et w n−i sont donc ´ egaux pour i =
0, . . . , n − 1. Dans le cas des formules ouvertes, les poids w i et w n−i sont
´ egaux pour i = 0, . . ., n. Pour cette raison, on ne montre dans la Table 8.2
que la premi` ere moiti´ e des poids.
Remarquer la pr´ esence de poids n´ egatifs dans les formules ouvertes pour n ≥ 2.
Ceci peut ˆ etre une source d’instabilit´ es num´ eriques, dues en particulier aux
erreurs d’arrondi.
Table 8.2. Poids des formules de Newton-Cotes ferm´ ees (` a gauche) et ouvertes (` a
droite)
n
1 2 3
4
5
6
w 0
1
2
1
3
3
8
14
45
95
288
41
140
w 1 0
4
3
9
8
64
45
375
288
216
140
w 2 0 0 0
24
45
250
288
27
140
w 3 0 0 0
0
0
272
140
n 0 1
2
3
4
5
w 0 2
3
2
8
3
55
24
66
20
4277
1440
w 1 0 0 −
4
3
5
24
−
84
20
−
3171
1440
w 2 0 0
0
0
156
20
3934
1440
Par d´ efinition l’ordre infinit´ esimal (par rapport au pas d’int´ egration h)
d’une formule de quadrature est le plus grand entier p tel que |I(f) − I n (f)| =
O(h
p ). On a alors le r´ esultat suivant :
Th´ eor` eme 8.2 Pour une formule de Newton-Cotes associ´ ee `
a une valeur
paire de n, si f ∈ C
n+2 ([a, b]) l’erreur est donn´ ee par l’expression suivante :
E n (f) =
M n
(n + 2)!
h
n+3 f
(n+2) (ξ),
(8.19)
o` u ξ ∈]a, b[ et
M n =
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
n
0
t π n+1 (t)dt < 0 pour les formules ferm´ ees,
n+1
−1
t π n+1 (t)dt > 0 pour les formules ouvertes,
o` u on a pos´ e π n+1 (t) =
n
i=0 (t − i). D’apr` es (8.19), le degr´ e d’exactitude est
´ egal `
a n + 1 et l’ordre infinit´ esimal est n + 3.
De mˆ eme, pour les valeurs impaires de n, si f ∈ C
n+1 ([a, b]), l’erreur est
donn´ ee par
E n (f) =
K n
(n + 1)!
h
n+2 f
(n+1) (η),
(8.20)