8.3 Les formules de Newton-Cotes
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8.3 Les formules de Newton-Cotes
Ces formules sont bas´ ees sur l’interpolation de Lagrange avec noeuds ´ equir´ epartis dans [a, b]. Pour n ≥ 0 fix´ e, on note x k = x 0 + kh, k = 0, . . . , n les
noeuds de quadrature. Les formules du point milieu, du trap` eze et de Simpson
sont des cas particuliers des formules de Newton-Cotes correspondant respectivement ` a n = 0, n = 1 et n = 2. On d´ efinit dans le cas g´ en´ eral :
– les formules ferm´ ees, pour lesquelles x 0 = a, x n = b et h =
b − a
n
(n ≥ 1) ;
– les formules ouvertes, pour lesquelles x 0 = a + h, x n = b − h et h =
b − a
n + 2
(n ≥ 0).
Indiquons une propri´ et´ e int´ eressante des formules de Newton-Cotes : les poids
de quadrature α i ne d´ ependent explicitement que de n et h et pas de l’intervalle d’int´ egration [a, b]. Pour v´ erifier cette propri´ et´ e dans le cas des formules
ferm´ ees, introduisons le changement de variable x = Ψ(t) = x 0 +th. En notant
que Ψ(0) = a, Ψ(n) = b et x k = a + kh, on a
x − x k
x i − x k
=
a + th − (a + kh)
a + ih − (a + kh)
=
t − k
i − k
.
Ainsi, pour n ≥ 1
l i (x) =
n
k=0,k =i
t − k
i − k
= ϕ i (t),
0 ≤ i ≤ n,
et on obtient l’expression suivante pour les poids de quadrature
α i =
b
a
l i (x)dx =
n
0
ϕ i (t)hdt = h
n
0
ϕ i (t)dt,
d’o` u on d´ eduit
I n (f) = h
n
i=0
w i f(x i ),
w i =
n
0
ϕ i (t)dt.
Les formules ouvertes peuvent ˆ etre interpr´ et´ ees de mani` ere analogue : en utilisant `
a nouveau l’application x = Ψ(t), on a x 0 = a + h, x n = b − h et
x k = a + h(k + 1) pour k = 1, . . ., n − 1 ; en posant, pour la coh´ erence,
x −1 = a, x n+1 = b et en proc´ edant comme pour les formules ferm´ ees, on
obtient α i = h
n+1
−1
ϕ i (t)dt, et donc
I n (f) = h
n
i=0
w i f(x i ),
w i =
n+1
−1
ϕ i (t)dt.
Dans le cas particulier o` u n = 0, comme l 0 (x) = ϕ 0 (t) = 1, on a w 0 = 2.
Les coefficients w i ne d´ ependent pas de a, b, h et f, mais seulement de
n ; ils peuvent donc ˆ etre tabul´ es a priori. Dans le cas des formules ferm´ ees,
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8.3 Les formules de Newton-Cotes
Ces formules sont bas´ ees sur l’interpolation de Lagrange avec noeuds ´ equir´ epartis dans [a, b]. Pour n ≥ 0 fix´ e, on note x k = x 0 + kh, k = 0, . . . , n les
noeuds de quadrature. Les formules du point milieu, du trap` eze et de Simpson
sont des cas particuliers des formules de Newton-Cotes correspondant respectivement ` a n = 0, n = 1 et n = 2. On d´ efinit dans le cas g´ en´ eral :
– les formules ferm´ ees, pour lesquelles x 0 = a, x n = b et h =
b − a
n
(n ≥ 1) ;
– les formules ouvertes, pour lesquelles x 0 = a + h, x n = b − h et h =
b − a
n + 2
(n ≥ 0).
Indiquons une propri´ et´ e int´ eressante des formules de Newton-Cotes : les poids
de quadrature α i ne d´ ependent explicitement que de n et h et pas de l’intervalle d’int´ egration [a, b]. Pour v´ erifier cette propri´ et´ e dans le cas des formules
ferm´ ees, introduisons le changement de variable x = Ψ(t) = x 0 +th. En notant
que Ψ(0) = a, Ψ(n) = b et x k = a + kh, on a
x − x k
x i − x k
=
a + th − (a + kh)
a + ih − (a + kh)
=
t − k
i − k
.
Ainsi, pour n ≥ 1
l i (x) =
n
k=0,k =i
t − k
i − k
= ϕ i (t),
0 ≤ i ≤ n,
et on obtient l’expression suivante pour les poids de quadrature
α i =
b
a
l i (x)dx =
n
0
ϕ i (t)hdt = h
n
0
ϕ i (t)dt,
d’o` u on d´ eduit
I n (f) = h
n
i=0
w i f(x i ),
w i =
n
0
ϕ i (t)dt.
Les formules ouvertes peuvent ˆ etre interpr´ et´ ees de mani` ere analogue : en utilisant `
a nouveau l’application x = Ψ(t), on a x 0 = a + h, x n = b − h et
x k = a + h(k + 1) pour k = 1, . . ., n − 1 ; en posant, pour la coh´ erence,
x −1 = a, x n+1 = b et en proc´ edant comme pour les formules ferm´ ees, on
obtient α i = h
n+1
−1
ϕ i (t)dt, et donc
I n (f) = h
n
i=0
w i f(x i ),
w i =
n+1
−1
ϕ i (t)dt.
Dans le cas particulier o` u n = 0, comme l 0 (x) = ϕ 0 (t) = 1, on a w 0 = 2.
Les coefficients w i ne d´ ependent pas de a, b, h et f, mais seulement de
n ; ils peuvent donc ˆ etre tabul´ es a priori. Dans le cas des formules ferm´ ees,