296
8 Int´ egration num´ erique
En effet, d’apr` es l’expression de l’erreur d’interpolation (7.7), on a
E 1 (f) =
b
a
(f(x) − Π 1 f(x))dx = −
1
2
b
a
f
(ξ(x))(x − a)(b − x)dx.
Comme ω 2 (x) = (x − a)(x − b) < 0 sur ]a, b[, le th´ eor` eme de la moyenne donne
E 1 (f) = (1/2)f
(ξ)
b
a
ω 2 (x)dx = −f
(ξ)(b − a)
3 /12,
pour un ξ ∈]a, b[, d’o` u (8.12). La formule du trap` eze a donc un degr´ e d’exactitude ´ egal ` a 1, comme celle du point milieu.
Pour obtenir la formule du trap` eze composite, on proc` ede comme dans
le cas o` u n = 0 : on remplace f sur [a, b] par son polynˆ ome composite de
Lagrange de degr´ e 1 sur m sous-intervalles, avec m ≥ 1. En introduisant les
noeuds de quadrature x k = a + kH, pour k = 0, . . ., m et H = (b − a)/m, on
obtient
I 1,m (f) =
H
2
m−1
k=0
(f(x k ) + f(x k+1 )) ,
m≥ 1,
(8.13)
o` u x 0 = a et x m = b. Chaque terme dans (8.13) apparaˆ ıt deux fois, except´ es
le premier et le dernier. La formule peut donc s’´ ecrire
I 1,m (f) = H
1
2
f(x 0 ) + f(x 1 ) + . . . + f(x m−1 ) +
1
2
f(x m )
.
(8.14)
Comme on l’a fait pour (8.8), on peut montrer que l’erreur de quadrature
associ´ ee ` a (8.14) s’´ ecrit, si f ∈ C
2 ([a, b]),
E 1,m (f) = −
b − a
12
H
2 f
(ξ),
o` u ξ ∈]a, b[. Le degr´ e d’exactitude est ` a nouveau ´ egal ` a 1.
La formule composite du trap` eze est impl´ ement´ ee dans le Programme 61.
Programme 61 - trapezc : Formule composite du trap` eze
function int = trapezc(a,b,m,fun)
%TRAPEZC Formule composite du trap` eze
% INT=TRAPEZC(A,B,M,FUN) calcule une approximation de l’int´ egrale de la
% fonction FUN sur ]A,B[ par la m´ ethode du trap` eze (avec M
% intervalles ´ equir´ epartis). FUN accepte en entr´ ee un vecteur r´ eel x et
% renvoie un vecteur r´ eel.