8.2 Quadratures interpolatoires
297
h=(b-a)/m;
x=[a:h:b];
dim=length(x);
y=eval(fun);
if size(y)==1
y=diag(ones(dim))*y;
end
int=h*(0.5*y(1)+sum(y(2:m))+0.5*y(m+1));
return
8.2.3 La formule de Cavalieri-Simpson
La formule de Cavalieri-Simpson peut ˆ etre obtenue en rempla¸ cant f sur [a, b]
par son polynˆ ome d’interpolation de degr´ e 2 aux noeuds x 0 = a, x 1 = (a+b)/2
et x 2 = b (voir Figure 8.2, `
a droite). Les poids sont donn´ es par α 0 = α 2 =
(b − a)/6 et α 1 = 4(b − a)/6, et la formule s’´ ecrit
I 2 (f) =
b − a
6
f(a) + 4f
a + b
2
+ f(b)
.
(8.15)
On peut montrer que, si f ∈ C
4 ([a, b]), l’erreur de quadrature est
E 2 (f) = −
h
5
90
f
(4) (ξ), h =
b − a
2
,
(8.16)
o` u ξ est dans ]a, b[. On en d´ eduit que la formule (8.15) a un degr´ e d’exactitude
´ egal ` a 3.
En rempla¸ cant f par son polynˆ ome composite de degr´ e 2 sur [a, b], on
obtient la formule composite correspondant `
a (8.15). On introduit les noeuds
de quadrature x k = a + kH/2, pour k = 0, . . ., 2m et on pose H = (b − a)/m,
avec m ≥ 1. On a alors
I 2,m =
H
6
f(x 0 ) + 2
m−1
r=1
f(x 2r ) + 4
m−1
s=0
f(x 2s+1 ) + f(x 2m )
,
(8.17)
o` u x 0 = a et x 2m = b. Si f ∈ C
4 ([a, b]), l’erreur de quadrature associ´ ee ` a
(8.17) est
E 2,m (f) = −
b − a
180
(H/2)
4 f
(4) (ξ),
o` u ξ ∈]a, b[ ; le degr´ e d’exactitude de la formule est 3.
La formule composite de Cavalieri-Simpson est impl´ ement´ ee dans le Programme 62.