8.2 Quadratures interpolatoires
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Programme 60 - midpntc : Formule composite du point milieu
function int = midpntc(a,b,m,fun)
%MIDPNTC Formule composite du point milieu
% INT=MIDPNTC(A,B,M,FUN) calcule une approximation de l’int´ egrale de la
% fonction FUN sur ]A,B[ par la m´ ethode du point milieu (avec M
% intervalles ´ equir´ epartis). FUN accepte en entr´ ee un vecteur r´ eel x et
% renvoie un vecteur r´ eel.
h=(b-a)/m;
x=[a+h/2:h:b];
dim=length(x);
y=eval(fun);
if size(y)==1
y=diag(ones(dim))*y;
end
int=h*sum(y);
return
8.2.2 La formule du trap` eze
Cette formule est obtenue en rempla¸ cant f par Π 1 f, son polynˆ ome d’interpolation de Lagrange de degr´ e 1 aux noeuds x 0 = a et x 1 = b (voir Figure 8.2,
` a gauche). Les noeuds de la formule de quadrature sont alors x 0 = a, x 1 = b
et ses poids α 0 = α 1 = (b − a)/2 :
I 1 (f) =
b − a
2
[f(a) + f(b)] .
(8.11)
Si f ∈ C
2 ([a, b]), l’erreur de quadrature est donn´ ee par
E 1 (f) = −
h
3
12
f
(ξ), h = b − a,
(8.12)
o` u ξ est un point de l’intervalle d’int´ egration.
f(x)
a = x 0
b = x 1
x
b = x 2
a+b
2
= x 1
x
f(x)
a = x 0
Fig. 8.2. Formules du trap` eze (` a gauche) et de Cavalieri-Simpson (` a droite)