294
8 Int´ egration num´ erique
sur m sous-intervalles de largeur H = (b − a)/m, avec m ≥ 1 (voir Figure 8.1,
` a droite). En introduisant les noeuds de quadrature x k = a + (2k + 1)H/2,
pour k = 0, . . ., m − 1, on obtient la formule composite du point milieu
I 0,m (f) = H
m−1
k=0
f(x k ),
m≥ 1.
(8.7)
Si f ∈ C
2 ([a, b]), l’erreur de quadrature E 0,m (f) = I(f) − I 0,m (f) est donn´ ee
par
E 0,m (f) =
b − a
24
H
2 f
(ξ),
(8.8)
o` u ξ ∈]a, b[. On d´ eduit de (8.8) que (8.7) a un degr´ e d’exactitude ´ egal ` a 1 ; on
peut montrer (8.8) en utilisant (8.6) et la lin´ earit´ e de l’int´ egration. En effet,
pour k = 0, . . ., m − 1 et ξ k ∈]a + kH, a + (k + 1)H[,
E 0,m (f) =
m−1
k=0
f
(ξ k )(H/2)
3 /3 =
m−1
k=0
f
(ξ k )
H
2
24
b − a
m
=
b − a
24
H
2 f
(ξ).
La derni` ere ´ egalit´ e est une cons´ equence du th´ eor` eme suivant, qu’on applique
en posant u = f
et δ j = 1 pour j = 0, . . . , m − 1.
Th´ eor` eme 8.1 (de la moyenne discr` ete) Soit u ∈ C
0 ([a, b]), soient x j
s + 1 points de [a, b] et δ j s + 1 constantes, toutes de mˆ eme signe. Alors,
il existe η ∈ [a, b] tel que
s
j=0
δ j u(x j ) = u(η)
s
j=0
δ j .
(8.9)
D´ emonstration. Soit um = min x∈[a,b] u(x) = u(¯ x) et uM = max x∈[a,b] u(x) =
u( ¯ ¯
x), o` u ¯
x et ¯ ¯
x sont deux points de [a, b]. Alors
um
s
j=0
δj ≤
s
j=0
δju(xj ) ≤ uM
s
j=0
δj.
(8.10)
On pose σs =
s
j=0 δju(xj) et on consid` ere la fonction continue U (x) = u(x)
s
j=0 δj.
D’apr` es (8.10), U (¯ x) ≤ σs ≤ U ( ¯ ¯
x). Le th´ eor` eme de la moyenne donne l’existence
d’un point η entre a et b tel que U (η) = σs, d’o` u (8.9). Une preuve similaire peut
ˆ etre faite si les coefficients δj sont n´ egatifs.
3
La formule composite du point milieu est impl´ ement´ ee dans le Programme 60.
Dans tout ce chapitre, nous noterons a et b les extr´ emit´ es de l’intervalle d’int´ egration et m le nombre de sous-intervalles de quadrature. La variable fun
contient l’expression de la fonction f, et la variable int contient en sortie la
valeur approch´ ee de l’int´ egrale.
8 Int´ egration num´ erique
sur m sous-intervalles de largeur H = (b − a)/m, avec m ≥ 1 (voir Figure 8.1,
` a droite). En introduisant les noeuds de quadrature x k = a + (2k + 1)H/2,
pour k = 0, . . ., m − 1, on obtient la formule composite du point milieu
I 0,m (f) = H
m−1
k=0
f(x k ),
m≥ 1.
(8.7)
Si f ∈ C
2 ([a, b]), l’erreur de quadrature E 0,m (f) = I(f) − I 0,m (f) est donn´ ee
par
E 0,m (f) =
b − a
24
H
2 f
(ξ),
(8.8)
o` u ξ ∈]a, b[. On d´ eduit de (8.8) que (8.7) a un degr´ e d’exactitude ´ egal ` a 1 ; on
peut montrer (8.8) en utilisant (8.6) et la lin´ earit´ e de l’int´ egration. En effet,
pour k = 0, . . ., m − 1 et ξ k ∈]a + kH, a + (k + 1)H[,
E 0,m (f) =
m−1
k=0
f
(ξ k )(H/2)
3 /3 =
m−1
k=0
f
(ξ k )
H
2
24
b − a
m
=
b − a
24
H
2 f
(ξ).
La derni` ere ´ egalit´ e est une cons´ equence du th´ eor` eme suivant, qu’on applique
en posant u = f
et δ j = 1 pour j = 0, . . . , m − 1.
Th´ eor` eme 8.1 (de la moyenne discr` ete) Soit u ∈ C
0 ([a, b]), soient x j
s + 1 points de [a, b] et δ j s + 1 constantes, toutes de mˆ eme signe. Alors,
il existe η ∈ [a, b] tel que
s
j=0
δ j u(x j ) = u(η)
s
j=0
δ j .
(8.9)
D´ emonstration. Soit um = min x∈[a,b] u(x) = u(¯ x) et uM = max x∈[a,b] u(x) =
u( ¯ ¯
x), o` u ¯
x et ¯ ¯
x sont deux points de [a, b]. Alors
um
s
j=0
δj ≤
s
j=0
δju(xj ) ≤ uM
s
j=0
δj.
(8.10)
On pose σs =
s
j=0 δju(xj) et on consid` ere la fonction continue U (x) = u(x)
s
j=0 δj.
D’apr` es (8.10), U (¯ x) ≤ σs ≤ U ( ¯ ¯
x). Le th´ eor` eme de la moyenne donne l’existence
d’un point η entre a et b tel que U (η) = σs, d’o` u (8.9). Une preuve similaire peut
ˆ etre faite si les coefficients δj sont n´ egatifs.
3
La formule composite du point milieu est impl´ ement´ ee dans le Programme 60.
Dans tout ce chapitre, nous noterons a et b les extr´ emit´ es de l’intervalle d’int´ egration et m le nombre de sous-intervalles de quadrature. La variable fun
contient l’expression de la fonction f, et la variable int contient en sortie la
valeur approch´ ee de l’int´ egrale.