8.2 Quadratures interpolatoires
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8.2 Quadratures interpolatoires
Nous pr´ esentons dans cette section trois cas particuliers de la formule (8.2)
correspondant `
a n = 0, 1 et 2.
8.2.1 Formule du rectangle ou du point milieu
Cette formule est obtenue en rempla¸ cant f par une constante ´ egale ` a la valeur
de f au milieu de [a, b] (voir Figure 8.1, `
a gauche), ce qui donne
I 0 (f) = (b − a)f
a + b
2
.
(8.5)
Le poids est donc α 0 = b − a et le noeud x 0 = (a + b)/2. Si f ∈ C
2 ([a, b]),
l’erreur de quadrature est
E 0 (f) =
h
3
3
f
(ξ), h =
b − a
2
,
(8.6)
o` u ξ est dans l’intervalle ]a, b[.
b
a
f(x)
x 0
x
f(x)
x m−1
x k
x
x 0
Fig. 8.1. La formule du point milieu (` a gauche) ; la formule composite du point
milieu (` a droite)
En effet, le d´ eveloppement de Taylor au second ordre de f en c = (a + b)/2
s’´ ecrit
f(x) = f(c) + f
(c)(x − c) + f
(η(x))(x − c)
2 /2,
d’o` u l’on d´ eduit (8.6) en int´ egrant sur ]a, b[ et en utilisant le th´ eor` eme de
la moyenne. On en d´ eduit que (8.5) est exacte pour les constantes et les
fonctions affines (car dans les deux cas f
(ξ) = 0 pour tout ξ ∈]a, b[). Le
degr´ e d’exactitude de la formule du point milieu est donc ´ egal ` a 1.
Il faut noter que si la longueur de l’intervalle [a, b] n’est pas suffisamment
petite, l’erreur de quadrature (8.6) peut ˆ etre assez importante. On retrouve
cet inconv´ enient dans toutes les formules d’int´ egration num´ erique pr´ esent´ ees
dans les trois prochaines sections. Ceci motive l’introduction des formules
composites que nous verrons ` a la Section 8.4.
Supposons maintenant qu’on approche l’int´ egrale I(f) en rempla¸ cant f
par son interpolation polynomiale composite de degr´ e 0 sur [a, b], construite
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8.2 Quadratures interpolatoires
Nous pr´ esentons dans cette section trois cas particuliers de la formule (8.2)
correspondant `
a n = 0, 1 et 2.
8.2.1 Formule du rectangle ou du point milieu
Cette formule est obtenue en rempla¸ cant f par une constante ´ egale ` a la valeur
de f au milieu de [a, b] (voir Figure 8.1, `
a gauche), ce qui donne
I 0 (f) = (b − a)f
a + b
2
.
(8.5)
Le poids est donc α 0 = b − a et le noeud x 0 = (a + b)/2. Si f ∈ C
2 ([a, b]),
l’erreur de quadrature est
E 0 (f) =
h
3
3
f
(ξ), h =
b − a
2
,
(8.6)
o` u ξ est dans l’intervalle ]a, b[.
b
a
f(x)
x 0
x
f(x)
x m−1
x k
x
x 0
Fig. 8.1. La formule du point milieu (` a gauche) ; la formule composite du point
milieu (` a droite)
En effet, le d´ eveloppement de Taylor au second ordre de f en c = (a + b)/2
s’´ ecrit
f(x) = f(c) + f
(c)(x − c) + f
(η(x))(x − c)
2 /2,
d’o` u l’on d´ eduit (8.6) en int´ egrant sur ]a, b[ et en utilisant le th´ eor` eme de
la moyenne. On en d´ eduit que (8.5) est exacte pour les constantes et les
fonctions affines (car dans les deux cas f
(ξ) = 0 pour tout ξ ∈]a, b[). Le
degr´ e d’exactitude de la formule du point milieu est donc ´ egal ` a 1.
Il faut noter que si la longueur de l’intervalle [a, b] n’est pas suffisamment
petite, l’erreur de quadrature (8.6) peut ˆ etre assez importante. On retrouve
cet inconv´ enient dans toutes les formules d’int´ egration num´ erique pr´ esent´ ees
dans les trois prochaines sections. Ceci motive l’introduction des formules
composites que nous verrons ` a la Section 8.4.
Supposons maintenant qu’on approche l’int´ egrale I(f) en rempla¸ cant f
par son interpolation polynomiale composite de degr´ e 0 sur [a, b], construite