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8 Int´ egration num´ erique
polynˆ ome d’interpolation de Lagrange de f sur un ensemble de n + 1 noeuds
distincts {x i , i = 0, . . ., n}. Ainsi, on d´ eduit de (8.1) que
I n (f) =
n
i=0
f(x i )
b
a
l i (x)dx,
(8.2)
o` u l i est le polynˆ ome caract´ eristique de Lagrange de degr´ e n associ´ e au noeud
x i (voir Section 7.1). On notera que (8.2) est un cas particulier de la formule
de quadrature suivante
I n (f) =
n
i=0
α i f(x i ),
(8.3)
o` u les coefficients α i de la combinaison lin´ eaire sont donn´ es par
b
a
l i (x)dx. La
formule (8.3) est une somme pond´ er´ ee des valeurs de f aux points x i , pour
i = 0, . . ., n. On dit que ces points sont les noeuds de la formule de quadrature,
et que les nombres α i ∈ R sont ses coefficients ou encore ses poids. Les poids
et les noeuds d´ ependent en g´ en´ eral de n ; `
a nouveau, pour simplifier l’´ ecriture,
cette d´ ependance sera sous-entendue.
La formule (8.2), appel´ ee formule de quadrature de Lagrange, peut ˆ etre g´ en´ eralis´ ee au cas o` u on connaˆ ıt les valeurs de la d´ eriv´ ee de f. Ceci conduit `
a la
formule de quadrature d’Hermite (voir [QSS07], Section 9.4).
Les formules de Lagrange et celles d’Hermite sont toutes les deux des
formules de quadrature interpolatoires, car la fonction f est remplac´ ee par
son polynˆ ome d’interpolation (de Lagrange et d’Hermite respectivement). On
d´ efinit le degr´ e d’exactitude d’une formule de quadrature comme le plus grand
entier r ≥ 0 pour lequel
I n (f) = I(f)
∀f ∈ P r .
(8.4)
Toute formule de quadrature interpolatoire utilisant n + 1 noeuds distincts a
un degr´ e d’exactitude au moins ´ egal ` a n. En effet, si f ∈ P n , alors Π n f = f
et donc I n (Π n f) = I(Π n f). La r´ eciproque est aussi vraie : une formule de
quadrature utilisant n + 1 noeuds distincts et ayant un degr´ e d’exactitude au
moins ´ egal ` a n est n´ ecessairement de type interpolatoire (pour la preuve voir
[IK66], p. 316).
Comme nous le verrons `
a la Section 9.2, le degr´ e d’exactitude peut mˆ eme
atteindre 2n + 1 dans le cas des formules de quadrature de Gauss.
8 Int´ egration num´ erique
polynˆ ome d’interpolation de Lagrange de f sur un ensemble de n + 1 noeuds
distincts {x i , i = 0, . . ., n}. Ainsi, on d´ eduit de (8.1) que
I n (f) =
n
i=0
f(x i )
b
a
l i (x)dx,
(8.2)
o` u l i est le polynˆ ome caract´ eristique de Lagrange de degr´ e n associ´ e au noeud
x i (voir Section 7.1). On notera que (8.2) est un cas particulier de la formule
de quadrature suivante
I n (f) =
n
i=0
α i f(x i ),
(8.3)
o` u les coefficients α i de la combinaison lin´ eaire sont donn´ es par
b
a
l i (x)dx. La
formule (8.3) est une somme pond´ er´ ee des valeurs de f aux points x i , pour
i = 0, . . ., n. On dit que ces points sont les noeuds de la formule de quadrature,
et que les nombres α i ∈ R sont ses coefficients ou encore ses poids. Les poids
et les noeuds d´ ependent en g´ en´ eral de n ; `
a nouveau, pour simplifier l’´ ecriture,
cette d´ ependance sera sous-entendue.
La formule (8.2), appel´ ee formule de quadrature de Lagrange, peut ˆ etre g´ en´ eralis´ ee au cas o` u on connaˆ ıt les valeurs de la d´ eriv´ ee de f. Ceci conduit `
a la
formule de quadrature d’Hermite (voir [QSS07], Section 9.4).
Les formules de Lagrange et celles d’Hermite sont toutes les deux des
formules de quadrature interpolatoires, car la fonction f est remplac´ ee par
son polynˆ ome d’interpolation (de Lagrange et d’Hermite respectivement). On
d´ efinit le degr´ e d’exactitude d’une formule de quadrature comme le plus grand
entier r ≥ 0 pour lequel
I n (f) = I(f)
∀f ∈ P r .
(8.4)
Toute formule de quadrature interpolatoire utilisant n + 1 noeuds distincts a
un degr´ e d’exactitude au moins ´ egal ` a n. En effet, si f ∈ P n , alors Π n f = f
et donc I n (Π n f) = I(Π n f). La r´ eciproque est aussi vraie : une formule de
quadrature utilisant n + 1 noeuds distincts et ayant un degr´ e d’exactitude au
moins ´ egal ` a n est n´ ecessairement de type interpolatoire (pour la preuve voir
[IK66], p. 316).
Comme nous le verrons `
a la Section 9.2, le degr´ e d’exactitude peut mˆ eme
atteindre 2n + 1 dans le cas des formules de quadrature de Gauss.