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Int´ egration num´ erique
Nous pr´ esentons dans ce chapitre les m´ ethodes les plus couramment utilis´ ees
pour l’int´ egration num´ erique. Bien que nous nous limitions essentiellement
aux int´ egrales sur des intervalles born´ es, nous abordons aux Sections 8.7 et
8.8 des extensions aux intervalles non born´ es (ou ` a des fonctions ayant des
singularit´ es) et au cas multidimensionnel.
8.1 Formules de quadrature
Soit f une fonction r´ eelle int´ egrable sur l’intervalle [a, b]. Le calcul explicite
de l’int´ egrale d´ efinie I(f) =
b
a
f(x)dx peut ˆ etre difficile, voire impossible.
On appelle formule de quadrature ou formule d’int´ egration num´ erique toute
formule permettant de calculer une approximation de I(f).
Une possibilit´ e consiste ` a remplacer f par une approximation f n , o` u n est
un entier positif, et calculer I(f n ) au lieu de I(f). En posant I n (f) = I(f n ),
on a
I n (f) =
b
a
f n (x)dx,
n ≥ 0.
(8.1)
La d´ ependance par rapport aux extr´ emit´ es a, b sera toujours sous-entendue.
On ´ ecrira donc I n (f) au lieu de I n (f; a, b).
Si f ∈ C
0 ([a, b]), l’erreur de quadrature E n (f) = I(f) − I n (f) satisfait
|E n (f)| ≤
b
a
|f(x) − f n (x)|dx ≤ (b − a)f − f n ∞ .
Donc, si pour un certain n, f − f n ∞ < ε, alors |E n (f)| ≤ ε(b − a).
L’approximation f n doit ˆ etre facilement int´ egrable, ce qui est le cas si, par
exemple, f n ∈ P n . Une approche naturelle consiste `
a prendre f n = Π n f, le