7.8 Exercices
289
9. Prouver que le polynˆ ome d’interpolation d’Hermite-Birkoff H3 n’existe pas pour
les valeurs suivantes
f0 = f (−1) = 1, f1 = f
(−1) = 1, f2 = f
(1) = 2, f3 = f (2) = 1
,
[Solution : en posant H3(x) = a3x
3 + a2x
2 + a1x + a0, on doit v´ erifier que la
matrice du syst` eme lin´ eaire H3(xi) = fi, i = 0, . . . , 3 est singuli` ere.]
10. D´ eterminer les coefficients aj , j = 0, . . . , 3, pour que le polynˆ ome p(x, y) =
a3xy + a2x + a1y + a0 interpole une fonction donn´ ee f = f (x, y) aux noeuds
(−1, 0), (0, −1), (1, 0) et (0, 1).
[Solution : le probl` eme n’admet pas une solution unique en g´ en´ eral ; en effet,
en imposant les conditions d’interpolation, le syst` eme obtenu est v´ erifi´ e pour
toute valeur de a3.]
11. Montrer la Propri´ et´ e 7.2 et v´ erifier qu’elle est valide mˆ eme dans le cas o` u la
spline s satisfait des conditions de la forme s
(a) = f
(a), s
(b) = f
(b).
[Indication : partir de
b
a
f
(x) − s
(x)
s
(x)dx =
n
i=1
x i
x i−1
f
(x) − s
(x)
s
dx
et int´ egrer deux fois par parties.]
12. Soit f (x) = cos(x) = 1 −
x
2
2!
+
x
4
4!
−
x
6
6!
+ . . . ; consid´ erer alors la fraction
rationnelle
r(x) =
a0 + a2x
2 + a4x
4
1 + b2x 2
,
(7.50)
appel´ ee approximation de Pad´ e. D´ eterminer les coefficients de r tels que
f (x) − r(x) = γ8x
8 + γ10x
10 + . . .
[Solution : a0 = 1, a2 = −7/15, a4 = 1/40, b2 = 1/30.]
13. Supposer que la fonction f du pr´ ec´ edent exercice soit connue en un ensemble
de n points ´ equir´ epartis xi ∈] − π/2, π/2[, i = 0, . . . , n. Reprendre l’Exercice
12 et d´ eterminer en utilisant MATLAB les coefficients de r tels que la quantit´ e
n
i=0 |f (xi) − r(xi)|
2 soit minimale. Consid´ erer les cas n = 5 et n = 10.
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9. Prouver que le polynˆ ome d’interpolation d’Hermite-Birkoff H3 n’existe pas pour
les valeurs suivantes
f0 = f (−1) = 1, f1 = f
(−1) = 1, f2 = f
(1) = 2, f3 = f (2) = 1
,
[Solution : en posant H3(x) = a3x
3 + a2x
2 + a1x + a0, on doit v´ erifier que la
matrice du syst` eme lin´ eaire H3(xi) = fi, i = 0, . . . , 3 est singuli` ere.]
10. D´ eterminer les coefficients aj , j = 0, . . . , 3, pour que le polynˆ ome p(x, y) =
a3xy + a2x + a1y + a0 interpole une fonction donn´ ee f = f (x, y) aux noeuds
(−1, 0), (0, −1), (1, 0) et (0, 1).
[Solution : le probl` eme n’admet pas une solution unique en g´ en´ eral ; en effet,
en imposant les conditions d’interpolation, le syst` eme obtenu est v´ erifi´ e pour
toute valeur de a3.]
11. Montrer la Propri´ et´ e 7.2 et v´ erifier qu’elle est valide mˆ eme dans le cas o` u la
spline s satisfait des conditions de la forme s
(a) = f
(a), s
(b) = f
(b).
[Indication : partir de
b
a
f
(x) − s
(x)
s
(x)dx =
n
i=1
x i
x i−1
f
(x) − s
(x)
s
dx
et int´ egrer deux fois par parties.]
12. Soit f (x) = cos(x) = 1 −
x
2
2!
+
x
4
4!
−
x
6
6!
+ . . . ; consid´ erer alors la fraction
rationnelle
r(x) =
a0 + a2x
2 + a4x
4
1 + b2x 2
,
(7.50)
appel´ ee approximation de Pad´ e. D´ eterminer les coefficients de r tels que
f (x) − r(x) = γ8x
8 + γ10x
10 + . . .
[Solution : a0 = 1, a2 = −7/15, a4 = 1/40, b2 = 1/30.]
13. Supposer que la fonction f du pr´ ec´ edent exercice soit connue en un ensemble
de n points ´ equir´ epartis xi ∈] − π/2, π/2[, i = 0, . . . , n. Reprendre l’Exercice
12 et d´ eterminer en utilisant MATLAB les coefficients de r tels que la quantit´ e
n
i=0 |f (xi) − r(xi)|
2 soit minimale. Consid´ erer les cas n = 5 et n = 10.