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7 Interpolation polynomiale
7.8 Exercices
1. Montrer que les polynˆ omes caract´ eristiques li ∈ Pn d´ efinis en (7.2) forment une
base de Pn.
2. Une alternative `
a la m´ ethode du Th´ eor` eme 7.1 pour construire le polynˆ ome
d’interpolation consiste `
a imposer directement les n + 1 contraintes d’interpolation sur Πn et `
a calculer les coefficients ai. On aboutit alors `
a un syst` eme
lin´ eaire Xa= y, avec a = [a0, . . . , an]
T , y = [y0, . . . , yn]
T et X = [x
j
i ]. On appelle X matrice de Vandermonde. Montrer que si les noeuds xi sont distincts,
X est inversible.
[Indication : montrer que d´ et(X)=
0≤j (xi − xj) par r´ ecurrence sur n.]
3. Montrer que ω
n+1 (xi) =
n
j=0
j =i
(xi − xj) o` u ωn+1 est le polynˆ ome nodal (7.6).
V´ erifier alors (7.5).
4. Donner une estimation de ωn+1 dans le cas n = 1 et n = 2 pour des noeuds
´ equir´ epartis.
5. Prouver que
(n − 1)!h
n−1 |(x − xn−1)(x − xn)| ≤ |ωn+1(x)| ≤ n!h
n−1 |(x − xn−1)(x − xn)|,
o` u n est pair, −1 = x0 < x1 < . . . < xn−1 < xn = 1, x ∈]xn−1, xn[ et h = 2/n.
[Indication : poser N = n/2 et commencer par montrer que
ωn+1(x) = (x + N h)(x + (N − 1)h) . . . (x + h)x
(x − h) . . . (x − (N − 1)h)(x − N h).
(7.49)
Prendre alors x = rh avec N − 1 < r < N.]
6. Sous les hypoth` eses de l’Exercice 5, montrer que |ωn+1| est maximum si x ∈
]xn−1, xn[ (remarquer que |ωn+1| est une fonction paire).
[Indication : utiliser (7.49) pour montrer que |ωn+1(x + h)/ωn+1(x)| > 1 pour
tout x ∈]0, xn−1[ ne co¨ ıncidant pas avec un noeud d’interpolation.]
7. Montrer la relation de r´ ecurrence (7.19) concernant les diff´ erences divis´ ees de
Newton.
8. D´ eterminer un polynˆ ome d’interpolation Hf ∈ Pn tel que
(Hf )
(k) (x0) = f
(k) (x0),
k= 0, . . . , n,
et v´ erifier que le polynˆ ome d’interpolation d’Hermite en un noeud co¨ ıncide avec
le polynˆ ome de Taylor
Hf (x) =
n
j=0
f
(j) (x0)
j!
(x − x0)
j .