7.6 Splines
285
−2
−1
0
1
2
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Fig. 7.11. B-spline pour des noeuds distincts (en trait plein) et pour des noeuds
dont trois co¨ ıncident `
a l’origine. Remarquer la discontinuit´ e de la d´ eriv´ ee premi` ere
2k degr´ es de libert´ e ` a fixer pour construire une base de S k . Une mani` ere de
proc´ eder consiste ` a introduire 2k noeuds fictifs
x −k ≤ x −k+1 ≤ . . . ≤ x −1 ≤ x 0 = a,
b = x n ≤ x n+1 ≤ . . . ≤ x n+k ,
(7.46)
auxquels on associe la B-splines B i,k+1 pour i = −k, . . . , −1 et i = n −
k, . . . , n − 1. Ainsi, toute spline s k ∈ S k s’´ ecrit de mani` ere unique
s k (x) =
n−1
i=−k
c i B i,k+1 (x).
(7.47)
Les r´ eels c i sont les coefficients de B-spline de s k . On choisit g´ en´ eralement les
noeuds (7.46) confondus ou p´ eriodiques.
1. Confondus : ce choix est bien adapt´ e pour imposer les valeurs atteintes
par une spline aux extr´ emit´ es de son intervalle de d´ efinition. Dans ce cas
en effet, d’apr` es la Remarque 7.2, on a
s k (a) = c −k , s k (b) = c n−1 .
(7.48)
2. P´ eriodiques, c’est-` a-dire
x −i = x n−i − b + a, x i+n = x i + b − a, i = 1, . . ., k.
C’est un bon choix si on doit imposer les conditions de p´ eriodicit´ e (7.35).