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7 Interpolation polynomiale
7.7 Splines param´ etriques
Les splines d’interpolation pr´ esentent les deux inconv´ enients suivants :
1. l’approximation obtenue n’est de bonne qualit´ e que si les d´ eriv´ ees de la
fonction f ne sont pas trop grandes (|f
(x)| < 1 pour tout x). Autrement,
la spline peut devenir oscillante, comme le montre l’exemple de la Figure
7.12 (` a gauche) qui repr´ esente, en trait plein, la spline d’interpolation
cubique correspondant aux donn´ ees (d’apr` es [SL89])
x i 8.125
8.4
9
9.845 9.6
9.959 10.166 10.2
f i 0.0774 0.099 0.28 0.6
0.708 1.3
1.8
2.177
2. la spline s k d´ epend du choix du syst` eme de coordonn´ ees. Ainsi, en effectuant une rotation de 36 degr´ es dans le sens des aiguilles d’une montre
dans l’exemple ci-dessus, on obtient une spline d´ epourvue d’oscillations
parasites (voir le petit cadre de la Figure 7.12, ` a gauche).
Tous les proc´ ed´ es d’interpolation consid´ er´ es jusqu’` a pr´ esent d´ ependent
d’un syst` eme de coordonn´ ees cart´ esiennes, ce qui peut ˆ etre gˆ enant si la
spline est utilis´ ee pour repr´ esenter graphiquement une courbe qui n’est pas
un graphe (par exemple une ellipse). On souhaiterait en effet qu’une telle
repr´ esentation soit ind´ ependante du syst` eme de coordonn´ ees, autrement
dit qu’elle poss` ede une propri´ et´ e d’invariance g´ eom´ etrique.
8
8.5
9
9.5
10
10.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
6
7
8
9
10
−5.2
−5
−4.8
−4.6
−4.4
−4.2
−2
0
2
4
6
−4
−2
0
2
4
Fig. 7.12. A gauche : une spline d’interpolation cubique s3 ne poss` ede pas de
propri´ et´ e d’invariance g´ eom´ etrique : les donn´ ees pour s3 sont les mˆ emes dans le
cadre et dans la figure principale, si ce n’est qu’elles ont subi une rotation de 36
degr´ es. La rotation diminue la pente de la courbe interpol´ ee et ´ elimine les oscillations.
Remarquer que la spline param´ etrique (trait discontinu) est d´ epourvue d’oscillation
mˆ eme avant rotation. A droite : splines param´ etriques pour une distribution de
noeuds en spirale. La spline de longueur cumul´ ee est dessin´ ee en trait plein
Une solution consiste `
a ´ ecrire la courbe sous forme param´ etrique et `
a approcher chacune de ses composantes par une spline. Plus pr´ ecis´ ement, consid´ erons une courbe plane sous forme param´ etrique P(t) = (x(t), y(t)), avec
7 Interpolation polynomiale
7.7 Splines param´ etriques
Les splines d’interpolation pr´ esentent les deux inconv´ enients suivants :
1. l’approximation obtenue n’est de bonne qualit´ e que si les d´ eriv´ ees de la
fonction f ne sont pas trop grandes (|f
(x)| < 1 pour tout x). Autrement,
la spline peut devenir oscillante, comme le montre l’exemple de la Figure
7.12 (` a gauche) qui repr´ esente, en trait plein, la spline d’interpolation
cubique correspondant aux donn´ ees (d’apr` es [SL89])
x i 8.125
8.4
9
9.845 9.6
9.959 10.166 10.2
f i 0.0774 0.099 0.28 0.6
0.708 1.3
1.8
2.177
2. la spline s k d´ epend du choix du syst` eme de coordonn´ ees. Ainsi, en effectuant une rotation de 36 degr´ es dans le sens des aiguilles d’une montre
dans l’exemple ci-dessus, on obtient une spline d´ epourvue d’oscillations
parasites (voir le petit cadre de la Figure 7.12, ` a gauche).
Tous les proc´ ed´ es d’interpolation consid´ er´ es jusqu’` a pr´ esent d´ ependent
d’un syst` eme de coordonn´ ees cart´ esiennes, ce qui peut ˆ etre gˆ enant si la
spline est utilis´ ee pour repr´ esenter graphiquement une courbe qui n’est pas
un graphe (par exemple une ellipse). On souhaiterait en effet qu’une telle
repr´ esentation soit ind´ ependante du syst` eme de coordonn´ ees, autrement
dit qu’elle poss` ede une propri´ et´ e d’invariance g´ eom´ etrique.
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Fig. 7.12. A gauche : une spline d’interpolation cubique s3 ne poss` ede pas de
propri´ et´ e d’invariance g´ eom´ etrique : les donn´ ees pour s3 sont les mˆ emes dans le
cadre et dans la figure principale, si ce n’est qu’elles ont subi une rotation de 36
degr´ es. La rotation diminue la pente de la courbe interpol´ ee et ´ elimine les oscillations.
Remarquer que la spline param´ etrique (trait discontinu) est d´ epourvue d’oscillation
mˆ eme avant rotation. A droite : splines param´ etriques pour une distribution de
noeuds en spirale. La spline de longueur cumul´ ee est dessin´ ee en trait plein
Une solution consiste `
a ´ ecrire la courbe sous forme param´ etrique et `
a approcher chacune de ses composantes par une spline. Plus pr´ ecis´ ement, consid´ erons une courbe plane sous forme param´ etrique P(t) = (x(t), y(t)), avec