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7 Interpolation polynomiale
de Newton (pour plus de d´ etails voir [Die93]) :
f[x 0 , . . . , x n ] =
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
f[x 1 , . . ., x n ] − f[x 0 , . . . , x n−1 ]
x n − x 0
si x 0 < x 1 < . . . < x n ,
f
(n+1) (x 0 )
(n + 1)!
si x 0 = x 1 = . . . = x n .
Si parmi les k + 2 noeuds x i , . . . , x i+k+1 , m noeuds (1 < m < k + 2)
co¨ ıncident et sont ´ egaux `
a λ, alors (7.34) contient une combinaison lin´ eaire
des fonctions (λ − x)
k+1−j
+
, pour j = 1, . . ., m. Par cons´ equent, la B-spline
ne peut avoir des d´ eriv´ ees continues en λ que jusqu’` a l’ordre k − m, et elle
est discontinue si m = k + 1. Si x i−1 < x i = . . . = x i+k < x i+k+1 , alors
(voir [Die93])
B i,k+1 (x) =
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
x i+k+1 − x
x i+k+1 − x i
k
si x ∈ [x i , x i+k+1 ],
0
s i n o n ,
et si x i < x i+1 = . . . = x i+k+1 < x i+k+2 , alors
B i,k+1 (x) =
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
x − x i
x i+k+1 − x i
k
si x ∈ [x i , x i+k+1 ],
0
s i n o n .
En combinant ces formules avec la relation de r´ ecurrence (7.45), on peut
construire des B-splines relatives ` a des noeuds pouvant co¨ ıncider.
Exemple 7.8 Examinons le cas particulier de B-splines cubiques sur les noeuds
´ equir´ epartis xi+1 = xi + h, i = 0, ..., n − 1. L’´ equation (7.44) devient
6h
3 Bi,4(x) =
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
(x − xi)
3
si x ∈ [xi, xi+1],
h
3 + 3h
2 (x − xi+1) + 3h(x − xi+1)
2 − 3(x − xi+1)
3 si x ∈ [xi+1, xi+2],
h
3 + 3h
2 (xi+3 − x) + 3h(xi+3 − x)
2 − 3(xi+3 − x)
3 si x ∈ [xi+2, xi+3],
(xi+4 − x)
3 ,
si x ∈ [xi+3, xi+4],
0
sinon.
La Figure 7.11 repr´ esente le graphe de Bi,4 pour des noeuds distincts et partiellement
confondus.
•
Etant donn´ e n + 1 noeuds distincts x j , j = 0, . . ., n, on peut construire
n − k B-splines de degr´ e k lin´ eairement ind´ ependantes, mais il reste alors